Дифференциальное исчисление (стр. 7 )

Определение предела функции по Коши: Задана функция  f(x) с областью определения X. Будем предполагать, что  X  содержит некоторую проколотую окрестность точки a.

, если ??>0??>0?x,0<|x - a|<?, x?X : |f(x) - A|<?.

Геометрическое определение: A – является пределом функции f(x) при x> a, если для любой окрестности A существует проколотая окрестность a, такая, что (x??X)?(f(x)?U(A)).

В геометрическом определении A, a числа или символы. Всего в этом определении содержится 16 различных вариантов определения предела (-число, -число, ).

Рис. 3.1

Пример:

?b??>0?x,0<|x – x0|<?, x?X: f(x)>b.

?c?a?x, x<a, x?X: |f(x)|>c.

3.2.2. Односторонние пределы. Предел слева, предел справа

Пусть f(x) определена на интервале X= (c, a) , где a – число. Предел слева определяется следующим образом:

.

Стандартное обозначение одностороннего предела слева: . Аналогично определяется предел справа, именно .

.

Стандартное обозначение одностороннего предела справа:

3.2.3. Связь предела с односторонними пределами

Пусть функция f(x)  определена на (a, b)  за исключением, быть может, точки x0?(a, b) .

Теорема. Для того, чтобы существовал предел , (A – число) н. и д. существование односторонних пределов и их равенство числу A.

Доказательство этого утверждения следует непосредственно из определения.

Замечание. Теорема верна и для  A=+? ,-?, но формально не верна для A=?.

Пример:  f(x)=1/x, x0=0,

3.2.4. Определение предела по Гейне

Вспомогательные определения.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x> x0 (или в x0)  заданной функции f(x) c областью определения X называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

{xn}?X. xn ? x0.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x>x0 – 0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {xn}?X.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x> x0+0 называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {xn}?X.

2)

3)

Последовательностью типа Гейне {xn} при x>? называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {xn}?X.

2) ------

3) =?.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x>+? называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {xn}?X.

2) ------

3) =+?.

Последовательностью типа Гейне {xn} при x> -? называется последовательность, удовлетворяющая следующим условиям

1) {xn}?X.

2) ------

3)

Определение предела по Гейне. Пусть f  определена в проколотой окрестности a (число или символ), A - число или символ называется пределом f(x) при x> a по Гейне, если для любой последовательности типа Гейне при x>a будет выполнено

.

Предел слева, справа определяется аналогично. Меняется только тип последовательности Гейне.

Эквивалентность двух определений

Доказательство. Kоши ?Гейне  (общий случай: A, a – числа или символы).

Пусть по Коши. Пусть {xk}  последовательность типа Гейне при x>a.  Для данной окрестности U(A) существует проколотая окрестность  такая, что

(x??X)? (f(x)?U(A)).                                        (1)

Так как =a, то для U(a) существует N ?n>N: xn? U(a). Поскольку xn ? a, то ?n>N: xn?, следовательно ?n>N : xn??X  откуда, согласно (1), будет выполнено  f(xn)?U(A), т. е. .

Доказательство. Гейне ? Kоши  (частный случай, a и A - числа). Предположим противное: ??0>0??>0? x,0<|x - a|<?:|f(x) - A|? ?0 . Для ?n=1/n будет существовать xn, 0<| xn - a|<1/n такое, что |f(xn)-A|??0 . Построенная последовательность { xn } является последовательностью типа Гейне при x>a, тогда по условию , но это противоречит неравенству |f(xn) - A| ? ?0.

В случае символов это утверждение доказывается аналогично.

Замечание 1. Определения односторонних пределов так же эквивалентны по Коши и по Гейне.

Замечание 2. Определение предела по Гейне позволяет переносить ранее доказанные свойства пределов последовательностей на пределы функций.

Докажем это для предела суммы двух функций.

Дано: Существуют пределы , . Пусть {xk}  последовательность типа Гейне при x>a, тогда , . По свойству пределов последовательностей будет выполнено . Таким образом, для любой последовательности типа Гейне {xk} оказыватся выполненным равенство:  . Последнее означает, что .

3.2.5. Критерий Коши существования конечного предела функции

Пусть X область определения функции f содержит проколотую окрестность точки a.

Условие Коши для f(x) в окрестности a (для предела ):

?? > 0? ?x?,x????X : |f(x?) - f(x??)| < ?.

Сформулируем условие Коши для других случаев.

Односторонние пределы:

Предел справа () : ??>0??>0?x?,x???(a, a+?)?X: |f(x?) - f(x??)|<?.

Предел слева  () : ?? >0??>0?x?,x???( a-?, a)?X: |f(x?) - f(x??)|<?.

Условие Коши для +? ():  f  определена в окрестности  +?

?? >0?b?x?,x???(b,+?)?X :|f(x?) - f(x??)|<?.

Условие Коши для -? ():  f  определена в окрестности 

-?

?? >0?a?x?,x???(-?,a)?X:|f(x?) - f(x??)|<?.

Условие Коши для ? ():  f определена в окрестности  ?

??>0?a?x?,x???(-?,a)? (?,a)?X:|f(x?) - f(x??)|<?.

Теорема. (Критерий Коши) Для существования конечного предела , где a число или символ  н. и д., чтобы f  удовлетворяла условию Коши в окрестности a.

Необходимость. Пусть ? > 0, для ?/2 ? ?x??X: