Дифференциальное исчисление (стр. 16 )

.

Пример: найти f(100)(x) для функции f(x) = x2ex.

4.2.4. Дифференциалы высших порядков

dx=?x=x - x0 , dy=f?(x0)dx, x-независимое переменное.

Определение. d 2f = f?? dx2, dx=?x,

d nf=d(d n-1 f)=d(f (n-1)dxn-1)=f (n)dxn.

При вычислении последующих дифференциалов приращение dx=?x берется одно и то же.

Из определения следует, что

, что согласуется с обозначением Лейбница для производной.

Замечание. Если x – независимое переменное, то dn x = 0, при n=2,3,…

Простейшие свойства дифференциалов

d(u+v)=du+dv, d(uv)=udv+vdu, dn(cu)=c dn u, c=const. dn(u+v)=dn u+ dn v. d0u=u, d0v=v.

4.2.5. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Пусть задана сложная функция  y=F(t)=f(g(t)), y=f(x), x=g(t).

dy=(f(g(t))? dt=f?(x)g?(t)dt=f?(x)dg=f?(x)dx. Вид первого дифференциала такой же, как если бы x являлось независимой переменной. Это свойство называется свойством инвариантности дифференциала первого порядка.

Для дифференциалов высших порядков свойства инвариантности, вообще говоря, нет.

dy=f?dx, d2y=f??dx2+f?d 2x, например, для функции x=t2, второй дифференциал d 2x ? 0.

Замечание. (Важный частный случай, когда свойство инвариантности наблюдается и для старших дифференциалов). В случае, когда внутренняя функция суперпозиции линейна, свойство инвариантности сохраняется для дифференциалов произвольных порядков.

d ny, y=f(x), x=at+b, dx = a dt, d 2x=…=d nx=0. Таким образом,

n-ый дифференциал d nf=f(n)dxn имеет такой же вид, как и в случае независимого переменного x.

4.2.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением

F(x, y)=0                

и пусть y=f(x) однозначная ветвь этой функции с областью определения X.

Для вычисления дифференциала dy(x0) функции достаточно продифференцировать равенство . В результате такого дифференцирования получится соотношение вида

A(x, y)dx+B(x, y)dy=0,                

где A(x, y), B(x, y) будут представлять собой некоторые выражения, включающие в себя x и y. Из последнего соотношения  можно найти выражение для dy  в нужной точке.

Пример 1:  x2+y2=1, найти d2y.

2xdx+2ydy=0, dy=dx. Для нахождения второго дифференциала следует использовать равенство xdx+ydy=0, дифференцируя которое, получим

dxdx+xd2x+dydy+yd2y=0 или dx2+dy2+ yd2y=0 , откуда получаем d2y=.

4.3 Теоремы о среднем для дифференцируемых функций

Теормы о среднем: Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

4.3.1. Теорема Ферма о нуле производной

Теорема. Если f(x) – определена на (a, b) и дифференцируема в точке x0?(a, b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f?(x0)=0.

Доказательство. Для случая наименьшего значения

f?(x0+0)=? 0,  f?(x0-0)= ? 0 откуда следует, что  f?(x0)=0.

Геометрическая интерпретация. Во внутренних точках, где функция принимает наибольшее или наименьшее значение, касательная к графику функции будет горизонтальна.

Рис. 4.13

4.3.2. Теорема Ролля о нуле производной

Теорема. Если f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f(a)=f(b). Тогда ? x0?(a, b):f?(x0)=0.

Доказательство. Положим ,

. Хотя бы одна из точек x1, x2 будет внутренней () и для этой точки утверждение следует из теоремы Ферма.

Рис. 4.14

4.3.3. Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f  непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то

???(a, b):f(b)-f(a)=f?(?)(b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

. Для этой функции F(a)=F(b)=0, и к ней применима теорема Ролля

.

Геометрическая интерпретация.

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика функции.

Рис. 4.15

Следствие 1. Если f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f?(x)?0 на (a, b), то f(x)?const.

Применяя теорему к произвольному отрезку [a, x], где x произвольная фиксированная точка, получим f(x) - f(a)=f?(?)(x - a)=0, т. е. f(x) = f(a).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f?(x)=g?(x) на (a, b), то f(x)=g(x)+ const.

4.3.4. Теорема Коши о конечных приращениях

Теорема. Если f, g непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), то существует ??(a, b) такая, что

.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x) = g(x)(f(b) - f(a)) - f(x)(g(b) - g(a)).

Для этой функции будет выполнено

F(a)= g(a)(f(b) - f(a)) - f(a)(g(b) - g(a))= g(a)f(b) - f(a)g(b) ,

F(b)= g(b)(f(b) - f(a)) - f(b)(g(b) - g(a))= - f(a)g(b) +g(a)f(b), таким образом, F(a)=F(b)

и к этой функции применима теорема Ролля: существует точка ??(a, b) для которой выполняется равенство

0=F(b)-F(a)=F?(?)(b-a)=[g?(?)(f(b)-f(a))-f?(?)(g(b)-g(a))](b-a).

Следствие. Если g?(x)?0 на (a, b), то .

Доказательство. Если g?(x)?0 , то  g(b)-g(a) ?0. Иначе, в случае g(b)=g(a), по теореме Ролля нашлась бы точка ?, где g?(?)=0.

4.4 Правило Лопиталя

Раскрытие неопределенностей при вычислении пределов.

4.4.1.Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f(x), g(x) определены на (x0,b) и

1)

2)  f, g дифференцируемы на (x0,b).

3)  g?(x)?0 на (x0,b).

Тогда , если существует конечный или бесконечный предел .

Доказательство. Доопределим  функции f и g в точке x0 по непрерывности нулем: f(x0)=g(x0)=0. По теореме Коши, примененной к отрезку [x0,x], будет существовать ?(x): x0<?(x)< x и , из условия x0<?(x)<x  следует, что , причем ?(x)?x0, если x?x0. Тогда . Последнее равенство справедливо по теореме о существовании предела суперпозиции,  ч. т.д.

Замечание. Аналогично, это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x> x0.

Следствие 1. Если

1) Существуют f(k) ,g(k), k=1,2,…,n на (x0,b).

2) , k=0,1,…,n-1.

3) Существуeт g(n)(x)?0 на (x0,b), то

если существует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,,то

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x> -?.

4.4.2.Раскрытие неопределенностей вида ?/?

f, g определены на (x0,b) и

1) .

2) f, g дифференцируемы на (x0,b).

3) g?(x)?0 на (x0,b).

Тогда , если последний существует конечный или бесконечный.

Без доказательства.

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x> x0 - 0, x> x0, x> +?, x> -?.

4.4.3.Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших

В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f(x) – бесконечно малая при x> x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1)-го порядка включительно f(x0)=0, f?(x0)=0,…,  и . В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна . Это утверждение следует из равенства , в котором в качестве функции g(x) берется (x-x0)n.