Дифференциальное исчисление (стр. 2 )

               a < b  и  c < 0   a  c  >  b  c  .

4.  Связь операций

4.1        ( a + b ) c = a c + b c ( дистрибутивность ).

Определение

| a |  =

Свойства: | a + b | ? | a | + | b |, | | a | - | b | | ? | a – b |.

5. Свойство Архимеда (постулат Архимеда)

Из двух неравных линий, двух неравных поверхновтей или двух неравных тел большая величина может оказаться меньше той величины, которую мы получим, если повторим меньшую надлежащее чило раз.

Архимед.

       ?a ? n?N: n > a.

       Следствие:  ? a>0 ? b ? n? N: na > b.

6. Свойство непрерывности вещественных чисел или Принцип  вложенных  отрезков.

Вначале некоторые определения.

Отрезок или сегмент - [a, b]={x:a?x?b}, b - a – длина отрезка.

Система вложенных отрезков. Система отрезков {[aj, bj]} называется системой вложенных отрезков, если ?k: [ak+1,bk+1]?[ak, bk] .

Принцип  вложенных  отрезков. Для всякой системы вложенных отрезков существует хотя бы один a ? R, общий для всех отрезков.

Множество элементов, удовлетворяющее свойствам 1 - 6 называется множеством вещественных чисел и обозначается  R.  Числовая ось - изображение действительных чисел. Для вещественных чисел используется геометрическая терминология «точки».

Определение. Система отрезков стягивается к 0, если

??>0 ?N ?n>N: bn  - an < ?.

Лемма Кантора.  Для всякой системы вложенных стягивающихся к нулю отрезков  [ak, bk]  существует единственное число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Доказательство. Одно число существует по свойству 6. Предположим, что существуют два таких числа x, y  и  x < y. Тогда

?n: an ? x < y ? bn ??n: y – x ? bn - an.

Возьмем ? = y – x. Для него ? N, ?n > N: bn - an < ?, что противоречит предыдущему неравенству.

Примеры работы с символом суммы .

Пример 1: Докажем сначала равенство для биномиальных коэффициентов

Cnk + Cnk-1=, где , n! =1?2?…?n,

Действительно, распишем подробно сумму биномиальных коэффициентов

====.

Доказанное свойство является одним из свойств треугольника Паскаля. В таблице в левом столбце указана степень бинома. По стронам треугольника проставляются единицы, а каждый биномиальный коэффициент внутри треугольника получается сложением двух, стоящих над ним коэффициентов.

n	Биномиальные коэффициенты
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1

Треугольник Паскаля

Пример 2: Доказать равенство .

=. В первой сумме сделаем замену индекса суммирования k+1 =m, k=m-1. Когда k меняется в пределах 0,…,n  индекс m  будет изменяться в пределах от 1 до n+1. В результате этой замены получим: ==.  В последнем равенстве суммы и , очевидно, совпадают и, таким образом, в результате получается разность .

Пример 3: Доказать по индукции равенство (бином Ньютона) , где .

Формула верна при n =1. Предположим, что она верна для n, докажем ее для n+1.

==

(замена m=k+1)== ===.

1.2. Комплексные числа

Определение комплексного числа и свойста комплексных чисел.

1.2.1. Определение комплексного числа

Множество комплексных чисел определяется, как множество  упорядоченных пар действительных чисел, в котором опрелелены операции сложения и умножения по правилам, описанным ниже. Комплексное число обозначают  z = (x, y). Первое число из такой пары называется вещественной частью комплексного числа и обозначаются x = Re z, второе число называется мнимой частью комплексного числа  и обозначаются y = Im z.

Два комплексных числа z1 ,  z2 равны z1 = z2 , если равны их вещественные и мнимые части

z1 = z2 ? { Re z1 = Re z2, Im z1 = Im z2 }.

Операции сложения и умножения  определяются по следующим правилам:

Сложение z1 = (x1,y1), z2 = (x2,y2), z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2).

Сложение комплексных чисел

Умножение .

Множество комплексных чисел обозначается C (комплексная плоскость).

Геометрическая интерпретация. Комплексное число z=(x, y) можно интерпретировать, как радиус вектор в точку плоскости с координатами (x, y).  Таким образом, по горизонтальной оси откладывается вещественная часть комплексного числа, а по вертикали откладывается мнимая часть.

Рис. 1.4

1.2.2. Свойства комплексных чисел

Ниже перечисленные свойства проверяются непосредственно, исходя из определения операций сложения и умножения комплексных чисел.

1)         z1 +z2 = z1 + z2 .

2)        z1 +( z2 + z3)  = (z1 + z2) + z3.

3)        обозначим = (0, 0), тогда для любого z будет выполнено  z + = z.

4)        ?z?C можно определить противоположное комплексное число - z=(-x,-y), которое обладает следующим свойством: .

5)        z1 z2  = z2 z1.

6)        z1 ( z2  z3)  = (z1  z2)  z3.

7)        определим комплексную единицу: =(1,0) , тогда ?z: z = z.

8)        для ?z?существует обратное комплексное число z-1: 

       Существование обратного числа. Пусть  z=(x, y). Будем искать число

z-1=(u, v), удовлетворяющее нужным свойствам: . Решая эту систему, получим

.

Частное двух комплексных чисел определяется по формуле .