Дифференциальное исчисление (стр. 11 )

Непрерывность на множестве:

Функция непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

3.5.2.Простейшие свойства непрерывных функций

1) Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке является непрерывной функцией в этой точке.

Следствие: Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций на множестве является непрерывной функцией на этом множестве.

2) Сохранение знака непрерывной функции:

f(x0)>0??U(x0):.

3) Если f(x) непрерывна в точке x0, g(x) непрерывна в x0, g(x0)?0, то функция  непрерывна в x0.

4) Функция |f(x)| непрерывна, если непрерывна f(x).

5) Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция.

Если f(x) определена в окрестности x0 и непрерывна в x0,

g(x) определена в окрестности t0 и непрерывна в t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и F(t) непрерывна в t0.

Все перечисленные свойства являются непосредственным следствием соответствующих свойств пределов функций.

Классификация точек разрыва

Если f(x) не является непрерывной в точке x0 , то x0 – точка разрыва. В этом случае говорят, что функция разрывная (разрывна) в точке x0 , или, функция претерпевает разрыв в точке x0 .

Определение. Если существуют конечные пределы

f(x0 - 0)f(x) и  f(x0+0)f(x)

и f(x) разрывна в точке x0 , то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом , то разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго рода.

Различают конечные и бесконечные разрывы второго рода.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки. Например, пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b].  Если существует конечный предел  f(a+0) и , то разрыв называется разрывом первого рода

Пример 1. Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке .

Рис. 3.4

График функции

Пример 2. Функция имеет разрыв второго рода в точке

Рис. 3.5

Пример 3. Функция = sign x имеет не устранимый разрыв первого рода в точке

Пример 4. Функция = sign x имеет устранимый разрыв первого рода в точке справа.

Пример 5. Функция = sign x имеет устранимый разрыв первого рода в точке слева.

Рис. 3.6

3.5.3. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса

Лемма. Если {xn}?[a, b] и xn=x0, то x0?[a. b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах: .

Теорема 1 (Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a, b] функция f ограничена на [a, b].

Доказательство (От противного). Ограниченность: ?M?x?[a, b]:|f(x)|?M. Отрицание ?M?x?[a, b]:|f(x)|>M. В частности, ?n? xn?[a, b]:|f(xn)|>n. По теореме Больцано-Вейерштрасса найдется сходящаяся подпоследовательность {}> x0, x0?[a, b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()>f(x0).

       Теорема 2. Непрерывная на [a, b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство.  Пусть M= f(x), тогда, беря в качестве . Выберем сходящуюся подпоследовательность >x0, x0?[a, b], . Переходя к пределу в этих неравенствах при k>? получим требуемое равенство f(x0)=M.

Рис. 3.7

3.5.4.Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции

Теорема. Если непрерывная на [a, b] функция f(x) принимает на концах промежутка [a, b] значения разных знаков, то ?c?(a, b): f(c)=0.

Доказательство. Пусть, например, A=f(a)< 0, B=f(b)> 0. Далее производится последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)< 0< f(bn). Общий шаг этого процесса. Дано: f(an)< 0< f(bn). Обозначим середину отрезка [an, bn] через cn=.

Рис. 3.8

Если , то нужная точка найдена.

Если , то полагаем .

Если , то полагаем .

Этот процесс может оборваться на некотором шаге и, таким образом, нужная точка c будет найдена. В противном случае в результате этой процедуры будет построена последовательность вложенных, стягивающихся к нулю отрезков {[an, bn]} , таких, что f(an)<0< f(bn). Пусть c – общая точка для этих отрезков: an? c? bn.

Тогда из условия  bn - an> 0 следует, что an=c=bn, далее из условия f(an)< 0< f(bn) получим, что  f(c)? 0? f(c).

Следствие 1. Если  f непрерывна на [a, b], f(a)?f(b). Тогда для ?M из промежутка f(a), f(b) ?c?[a, b]:f(c)=M.

Доказательство: Пусть, например,  A=f(a)<B=f(b), доказанную теорему применяем к функции F(x)=f(x) – M.

Рис. 3.9

Следствие 2. Пусть f(x) непрерывна на отрезке X и , тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m, M].

Действительно, по второй теореме Вейерштрасса точные верхние грани достигаются. Таким образом, существуют такие, что и . К точкам применяем следствие 1.

Рис. 3.10

3.5.5.Критерий непрерывности монотонной функции

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x), определенная на [a, b], была непрерывна на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)], либо [f(b), f(a)]).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для ?x0?(a, b], и для ?x0?[a, b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0?(a, b], A=, тогда для ?x?[a, x0) :f(x)?A и для ??>0? x??[a, x0):A-? <f(x?).