Дифференциальное исчисление (стр. 5 )

2.2.2. Монотонные последовательности

Теорема 5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {xn} имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b=. Докажем это. Берем произвольное ? >0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что b-? < xN ? b <b+?.

Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой ?-окрестности числа b в силу монотонности последовательности, ч. т.д.

Рис. 2.2

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[an, bn]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и с?[an, bn], то .

Доказательство:

. Аналогично,

.

Пример. Число e. Число Эйлера или неперово число.

Индукцией по n доказывается формула (Бином Ньютона):

.

Используя формулу бинома Ньютона для последовательности xn= получим:

+…+…+=

Для n+1 будет выполнено, соответственно,

При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и общее число слагаемых увеличивается на один, поэтому xn<xn+1. Далее, каждая скобка <1 и , поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e.

Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…

2.3. Некоторые свойства последовательностей, связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

Дальнейшие свойства сходящихся и ограниченных последовательностей. Подпоследовательность.

2.3.1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность  {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1?n1<n2<…<nk<nk+1<…, тогда числовая последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример:  xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.

Замечание. Отметим, что  из условия nk < nk+1 следует, что

k nk  (доказывается индукцией по k) .

Теорема 1.  Если (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности  {yk},  ,будет выполнено: .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}, ч. т.д.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть последавательность лежит на 

[a, b]? {xn}.

Разделим отрезок [a, b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим через [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak, bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков (bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как c?[ak, bk], то . Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе ). Просто договоримся частичным пределом не считать.

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный).

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом ? используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда. Условие nk> nk-1 можно обеспечить, используя то, что в любой окрестности +? имеется бесконечно много членов последовательности.

2.3.2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности  {xn} называется ее верхним пределом, , где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что . Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то . Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы.

Без доказательства.

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A - множество конечных частичных пределов

.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {xn}.

2.3.3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности

Условие Коши:?? > 0?N?n > N?p:|xn+p - xn|<?

Определение. Фундаментальной последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Теорема. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть ? >0 . Для ??=?/2?N?n>N:|xn - a|<?/2 для тех же n (n>N) и ?p будет выполнено |xn+p - a|< ?/2. Таким образом, для ?n>N?p:|xn+p - xn|? |xn+p - a|+|a - xn| < ?/2+?/2=?.

Достаточность. Пусть ? >0. Для

                                        (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера M+1  оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Докажем, что является пределом последовательности . Для ранее выбранного ?