Дифференциальное исчисление (стр. 8 )

|f(x) - A|<?/2. Для x?,x????X получим требуемое неравенство

|f(x?) - f(x??)|<|f(x?) - A|+|f(x??) - A| < ?/2+?/2=?.

Достаточность. Пусть ? >0. Тогда ? ?x?,x????X:|f(x?)-f(x??)|<?. Если {xn} последовательность типа Гейне для a, то из сходимости {xn}>a  и условия xn?a  следует, что существует N?n>N, ?p:xn?и xn+p?. Тогда для

?n>N, ?p : |f(xn) - f(xn+p)|<?. Таким образом,  последовательность {f(xn)} будет фундаментальна, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой  последовательности типа Гейне {yn}  предел будет также равен B. Составим последовательность

, {zn}={x1, y1,x2, y2,x3, y3,…}.

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне при x>a и, как уже доказано, предел   должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, =.

3.2.6. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел

Область определения X функции f  содержит некоторую проколотую окрестность .

Функция f  локально ограничена в точке a, если она ограничена в некоторой окрестности этой точки. Для числа a определение локальной ограниченности выглядит следующим образом:

?M??>0?x?U?(a)?X : |f(x)|?M.

Для a = +?  ?M?b?x?Ub(+?)?X:|f(x)|?M.

Теорема. Функция  f(x) , имеющая конечный предел в при  x> a,  локально ограничена в a.

Доказательство: ?=1, M=max{|A-1|,|A+1|,f(a)} или  M=max{|A-1|,|A+1|} (последнее в случае, если функция не определена в a ).

Замечание. Теорема верна и в случае , .

3.2.7. Сохранение знака функции, имеющей ненулевой предел в точке

Будем предполагать, что область определения  X функции f  содержит некоторую Тогда справедлива следующая

Теорема.

В этом случае говорят, что функция  f(x) сохраняет знак числа A в некоторой окрестности a.

Доказательство. Для

?=.

Замечание 1.

Замечание 2. Теорема верна и в случае

Рис. 3.2

3.2.8. Предел сложной функции

Пусть функция f(x) определена на X, функция g(t) определена на T с областью значений G?X. Тогда на T определена суперпозиция F(t)=f(g(t)),t?T.  При этих условиях справедлива

Теорема. Пусть g(t) определена на

T= (?, ?)\{t0},t0? (?, ?).Функция  f(x) определена на (a, b)\{x0},

и g(t)?x0, если t?t0 ,=A.

Тогда

Доказательство: Возьмем ? > 0 для него ??>0?x?:

f(x)? U?(A), далее, для ? существует ?>0?t?:g(t) ?, если t?t0 , то g(t)?x0. таким образом, g(t)?и следовательно  f[g(t)]? U?(A).

3.3 Свойства пределов

Дальнейшие свойства пределов функций. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

3.3.1. Переход к пределу в неравенствах

Теорема. Если  f(x), g(x) определены на , x0?(a, b) и f(x) ? g(x) на и существуют пределы, А и B числа, то A?B.

Аналогично, для случая f(x)<g(x).

Теорема. Если  f(x), g(x) определены на , x0?(a, b) и f(x)< g(x) на и существуют пределы, А и B числа, то A?B.

Эти утверждения следуют из соответствующих теорем о пределах последовательностей, используя определение предела по Гейне.

3.3.2. Арифметические операции над пределами

Везде в этом пункте рассматриваются конечные пределы.

1), , если ?.

2) , если существуют конечные пределы , .

3) , если существуют  конечные пределы , .

Следствие: , если существует  конечный предел .

4) ???

5)  g(x)?0,, ???

Замечание. Аналогичные свойства имеют место для односторонних пределов.

3.3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Бесконечно малой в  x0 называется функция f(x) такая, что

Свойства бесконечно малых функций

1) Критерий существования конечного предела функции

? ? б. м. функция ?(x) при x>x0 :f(x)=A+?(x).

2) ?(x),?(x) б. м. ? ?(x)+?(x)  б. м..

3) Произведение б. м. функции на ограниченную является б. м. функцией.

4) Произведение б. м. функций является б. м. функцией.

Определние.  f(x), определенная в проколотой окрестности x0 , называется бесконечно большой  б. б. в т. x0, если .

5) Если ?(x) б. м. при x>x0 и ?(x)?0, то 1/?(x) является б. б. и наоборот. Символически это записывают в виде 1/?=0, 1/0=? .

3.3.4. Сравнение б. м. и б. б. функций. Символы O, o

Пусть функции f, g  определенны в некоторой проколотой окрестности x0.

Пишут,если

.

Аналогично определяется O при x>x0+0, x>x0 - 0, x>±?, x>? .

Пример: f(x)=O(1), x>? означает локальную ограниченность функции в ?.

Определение. Если при x>x0 ,  f(x)=O (g) и g(x)=O (f) , то f(x), g(x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x3,x2 являются функциями одного порядка при x>1.

Определение o (о малое). Пусть f(x), g(x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x0. Пишут f(x)=o(g(x)), x>x0, если ? ? бесконечно малая ?(x) при x>x0  , такая, что

?x? : f(x)=?(x)g(x).