Дифференциальное исчисление (стр. 14 )

Аналогично определяются односторонние производные  f?(x0+0), f?(x0-0).

f?(x0+0)= ,  f?(x0 - 0)=.

Теорема. Для существования производной  f?(x0) необходимо и достаточно существования обеих односторонних производных f?(x0+0), f?(x0 - 0) и их равенство.

Непосредственно следует из соответствующей теоремы об односторонних пределах.

Если  f? существует всюду на множестве Х, то мы получаем новую функцию f? (x), которая называется производной функцией.

Определение. Функция f, определенная в окрестности точки x0 называется дифференцируемой в точке x0, если существует число А, такое, что приращение функции представимо в виде

?f = f(x) - f(x0) = A(x - x0)+o (x – x0),  x>x0

Теорема. Для существования f? (x0) необходимо и достаточно, чтобы f была дифференцируема в точке x0.

Для доказательства можно воспользоваться критерием существования предела в терминах бесконечно малых.

? A ? .

Замечание. Отметим, что A= f? (x0).

Операция вычисления производной называется операцией дифференцирования.

Геометрическая интерпретация. Предельное положение хорды, соединяющей точки графика, при x> x0 называется касательной к графику функции f(x) в точке x0 .

?=arctg=arctg  f?(x0).

Рис. 4.1

Для точек (x, y), лежащих на касательной будет выполнено равенство ,

. Тангенс угла наклона касательной к графику функции f(x) в точке x0 равен ,.  Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x0: .

Рис. 4.2

Последнее равенство можно сравнить с  определением дифференцируемости в точке .

Нормаль в точках, где касательная не горизонтальна: . Уравнение нормали в общем случае: .

Теорема ( Необходимое условие дифференцируемости ) Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Пример функции всюду дифференцируемой, имеющей разрыв производной в нуле.

4.1.2. Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции A?x в определении дифференцируемости функции

?f=f(x) - f(x0)=A(x - x0)+o (x – x0), x>x0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f?(x0)?x= A?x.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения ?x. На ?x при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения ?x.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x, то получим dx=?x, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Рис. 4.3

4.1.3.Основные правила дифференцирования

f=const, f?=0, df=0?x=0. f=u+v, f?=u?+v?, df = du+dv. f=uv, f?=u?v+v?u, df = u dv + v du.

Следствие. (cf(x))?=cf?(x),  (c1f1(x)+…+cnfn(x))?= c1f?1(x)+…+ cn f?n(x)

f=u/v, v(x0)?0 и производная существует, то f?=(u?v-v?u)/v2.

Для краткости будем обозначать u=u(x), u0=u(x0), тогда

=

Переходя к пределу при ?x> 0 получим требуемое равенство.

Производная сложной функции.

Теорема. Если существуют f?(x0), g?(x0) и  x0=g(t0), то в некоторой окрестности t0 определена сложная функция  f(g(t)), она дифференцируема в точке t0  и

Доказательство.

f(x) - f(x0)=f?(x0)(x-x0)+?(x)(x-x0), x?U(x0).

Можно считать ?(x0)=0.

f(g(t))- f(g(t0))= f?(x0)( g(t)- g(t0))+?( g(t))( g(t)- g(t0)).

Поделим обе части этого равенства на (t - t0) и перейдем к пределу при t>t0.

Вычисление производной обратной функции.

Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a, b]. Пусть в точке x0?(a, b) существует f?(x0)? 0, тогда обратная функция x=f -1(y) имеет в точке y0 производную, равную

Доказательство. Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f -1(y) непрерывна, монотонно возрастает на [f(a),f(b)]. Положим y0=f(x0), y=f(x), x - x0=?x,

y - y0=?y. В силу непрерывности обратной функции ?y>0 ? ?x>0, имеем

. Переходя к пределу, получим требуемое равенство.

7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.

Действительно, если x> - x0 , то - x> x0, поэтому

Для четной функции для нечетной функции

.

4.1.4.Производные элементарных функций

1) f=const,  f?(x)=0.

2) f(x)=x,  f?(x)=1.

3) f(x)=ex,  f?(x)= ex,

f(x)=ax, (ax)? = ax ln a. ln a. f(x)=ln x,,

Следствие. (производная четной функции нечетна)

6)

7) (x?)?=?x? -1, x>0, x?=e? ln x.

8) (sin x)?=cos x,

9) (cos x)?=-sin x, (cos x)?=(sin(x+?/2))?= cos(x+?/2)=-sin x.

10) (tg x)?=1/cos2x.

11) (ctg x)?=-1/sin2x.

12).

.

13) .

.

14) .

.

15)

.

sh x, ch x.

.

.

4.1.5. Логарифмическое дифференцирование

f(x), , откуда следует, что f?(x)=f(x)(ln f(x))? .

Ту же формулу можно получить иначе f(x)=eln f(x), f?=eln f(x)(ln f(x))?.

Пример. Вычислить производную функции f=xx.

=xx= xx= xx= xx(ln x +1).

4.1.6.Функции, заданные параметрически

Геометрическое место точек на плоскости

.

будем называть графиком функции, заданной параметрически. Говорят также о параметрическом задании функции.

Замечание 1. Если x, y непрерывны на [?, ?] и x(t) строго монотонна на отрезке [?, ?] (например, строго монотонно возрастает), то на [a, b] , a=x(?), b=x(?) определена функция f(x)=y(t(x)), где t(x) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

.