Дифференциальное исчисление (стр. 3 )

9) Свойвство дистибутивности:        z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

1.2.3. Алгебраическая форма записи

Рассмотрим отображение c(x) из R в C: , где x?R,C. Множество комплексных чисел (x,0), обозначим С. Отображение c(x) взаимно-однозначно, причем

c(x+y) = c(x)+c(y). c(xy) = c(x)c(y). c(0) = c(1) =

Следствие:  c(-x)=-c(x), c(x-1)=c(x)-1 или c(1/x)=1/c(x).

Эти свойства позволяют отождествлять числа с вещественными числами x. В дальнейшем волну будем опускать. Множество чисел (x,0) называется вещественной осью.

Мнимая единица. Введем обозначение i=(0,1). Это комплексное число называется мнимой единицей. Отметим, что

Рассмотрим запись x+iy=(x,0)+(0,1)(y,0)=(x, y)=z, таким образом можно записать z=(x, y)=x+iy. Представление комплексного числа z=(x, y)=x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Множество чисел (0, y)=iy называется мнимой осью.

1.2.4. Модуль и аргумент комплексного числа. Комплексное сопряжение. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел

Для z=(x, y), определяется комплексно сопряженное число . На комплексной плоскости сопряженное число расположено по отношению к данному числу симметрично относительно вещественной оси.

Модуль комплексного числа определяется по формуле: . Отметим, что .

Рис. 1.5

Пример. Для представления комплексного числа в алгебраической форме домножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя: . В результате получим:

Определение аргумента комплексного числа.

Главным значением аргумента комплексного числа называется угол между положительным направлением вещественной оси и радиус вектором комплексного числа, лежащий в диапазоне [0,2?). Главное значение аргумента обозначается arg z. Аргумент комплексного числа Arg. Например, для первой четверти комплексной плоскости arg z = arctg y/x.

Тригонометрическая форма представления комплексного числа:

z = x + iy = r( cos ? + i sin ? ),                                        (1)

где ?=Arg z, .

Рис. 1.6

Формулы Эйлера.

Введем обозначения

ei? = cos ? + i sin ?, откуда следует, что

cos ? = , sin ? = .

Замечание. Определение комплексного числа ez в общем случае z=x+iy производится по формуле .

Свойства символа  ei?. Непосредственно из определения следует

ei(?+?) = ei? ei?, ? (ei?)n=ein?.

Проверка: =

+.

С другой стороны тоже самое получится, если перемножить :

=+

+.

Используя обозначение ei?  комплексное число можно представить в виде

z = rei?                                                                (2)

Выражения (1)  и (2) - тригонометрические формы записи комплексного числа.

1.2.5. Формула Муавра

Была найдена А. Муавром в 1707; современная её запись предложена Л. Эйлером в 1748.

zn=rnein?=rn( cos n? + i sin n?).                                        (3)

Формула (3) доказывается индукцией по n.

Умножение комплексных чисел

При она, очевидно, верна. Предположим, что она верна для некоторого n, докажем ее для n+1. Имеем:

, ч. т.д.

Для заданного найдем , удовлетворяющее уравнению . Другими словами, найдем корень n-ой степени из комплексного числа. Имеем rnein?=?ei?? n?=?+2?k, k?Z, r= откуда получаем формулы

,

которые используются для вычисления корня n-ой степени из комплексного числа . Процесс нахождения корня n – ой степени из комплексного числа z можно описать следующим образом. Если это число не равно 0, то таких корней будет ровно n. Все они будут являться вершинами правильного  n – угольника, вписанного в окружность радиуса . Одна из вершин этого многоугольника имеет аргумент, равный .

Пример. Вычислить . В этом случае , поэтому принимает три значения:

.

Рис. 1.7

Замечание:  Знаки сравнения меньше, больше (<, >) не определены в C.

1.3. Верхняя и нижняя грани множества действительных чисел

Ограниченность и грани множества.

1.3.1.Ограниченное множество. Точные грани

Ограниченное сверху множество  E: ?b ?x?E : x ? b.

b - верхняя грань множества:  ?x?E:x ? b.

Ограниченное снизу множество:        ?a ?x?E : x ? a.

a - нижняя грань множества:        ?x?E : x ? a.

Точная верхняя грань множества: b = sup E – это число, удовлетворяющее двум свойствам:

1) (b - верхняя грань) ?x?E : x?b.

2) ( нет меньшей) ??>0 ? x?E: x > b-?.

Аналогично определяется точная нижняя грань a = inf E. Ограниченное множество  E: ?b ?x?E: .

Замечание:  Если b = sup E, то - b = inf E? , где E?- зеркальное к E множество, E?={x?R:(-x)?E}.

1.3.2.Существование точной верхней грани у ограниченного сверху множества

Теорема 1. У непустого, ограниченного сверху множества существует точная верхняя грань.

Доказательство: Пусть  b  верхняя грань множества  E  и a?E. Обозначим через [a1,b1] отрезок , если в нем есть точки из E. В противном случае через [a1,b1] обозначим отрезок

Рис. 1.8

Отметим свойства этого построенного отрезка:

1) ?x?E: x ? b1.

2) E?[a1,b1] ? ? .

Эту процедуру повторим для [a1,b1], и т. д. В результате получим последовательность вложенных отрезков [ak, bk], удовлетворяющих свойствам:

1)?x?E: x ? bk.

2) E?[ak, bk] ? ? .

Доказательство этого проводится по индукции. Предположим, что построен отрезок [ak, bk] с указанными свойствами. Разделим его пополам точкой .  Через [ak+1,bk+1] обозначим тот из отрезков , который имеет непустое пересечение с E. Если оба содержат