Дифференциальное исчисление (стр. 22 )

r(t) - r(t0) =a(t – t0) +?(t) (t – t0),                                        (1)

где ?(t) = 0.

Векторная функция a ?t = a (t – t0) = a dt  называется дифференциалом функции r(t) в точке t0 и обозначается dr = a dt.

Условие (1) можно записать в координатной форме

                                       (2)

где a =(ax, ay, az), ? = (?x, ?y, ?z ) .

Теорема. Дифференцируемость r(t) в точке t0 эквивалентна дифференцируемости в точке t0 координат функции r(t).

Следствие. Для дифференцируемости r(t) в точке t0 необходимо  и достаточно существование r?(t0).

Геометрический смысл производной r(t): 

Рис. 4.27

5.1.5. Правила дифференцирования вектор функций

1) (? r) =r + ? r?.

       2) (r1 + r2 ) = (r1? + r2? ).

       3) (r1 , r2 ) = (r1? , r2 ) + (r1 , r2? ).

Для краткости будем рассматривать плоские вектора.

r1= , r2=. Тогда (r1,r2)=

и (r1 , r2 )=

=

==

=(r1? , r2 ) + (r1 , r2? ).

4) [r1 , r2 ] = [r1? , r2 ] + [r1 , r2? ].

5.1.6. Гладкие кривые

Определение.  Кривая

? :    t?T

называется непрерывной, если непрерывны x(t), y(t), z(t). (Можно определять непрерывность в точке или на множестве).

Для заданной параметризации t?[?, ?] начало кривой – точка A(x(?),y(?),z(?)), конец кривой – точка B(x(?),y(?),z(?)).

Замкнутая кривая это кривая, у которой  конец совпадает с началом.

Кривая называется непрерывно дифференцируемой, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифференцируемы.

Гладкой называется кривая, которая непрерывно дифференцируема и для которой выполнено условие ?t : r?(t)?0.

Кусочно гладкая кривая – кривая, которая непрерывна и состоит из конечного числа гладких кусков.

5.2 Длина кривой

Длина кривой. Спрямляемость.

5.2.1.Спрямляемая кривая

Разбиенем отрезка [?, ?] называется набор точек t0 , t1 ,…. tn таких, что ?=t0< t1<….< tn=?. Разбиение отрезка будем обозначать  ?={?=t0< t1<….< tn=? } .

Пусть ? : r(t)        -непрерывно дифференцируемая на [?, ?] кривая и  ?={?=t0< t1<….< tn=? } – некоторое разбиение отрезка [?, ?]. Для данного разбиения можно построить вписанную ломаную с узлами в точках Ak=(x(tk), y(tk), z(tk)), k=0,1,…,n. Радиус вектор в точку Ak обозначим rk. Длину ломаной обозначим ?(?, ?)

?(?, ?)=|rk+1 – rk|

Рис. 5.1

рисунок для плоского случая

Определение. Кривая ?  называется спрямляемой, если конечна точная верхняя грань , где точная верхняя грань берется по всевозможным разбиениям ? отрезка [?, ?]. Эта величина s называется длиной кривой ?.

Пример непрерывной, не спрямляемой кривой.

Рис. 5.2

Длина основания очередного прямоугольника равна половине длины основания соседнего прямоугольника справа. Число звеньев ломаной, вписанной в прямоугольник берется таким, чтобы длина участка ломанной, попавшей в прямоугольник была > 1.

Теорема 1. Кривая, составленная из двух спрямляемых кривых спрямляема и ее длина равна сумме длин исходных компонент.

Доказательство. Пусть ? = ??+???. Для любого разбиения ? кривой ? существуют разбиения ??, ??? кривых ??, ??? такие, что ?(?, ?) ? ?(?? , ??)+?(??? , ???) . На рисунке на участке стыка двух кривых хорда AB заменяется на две хорды AC и CB. Все остальные хорды разбиения кривой ?  оставляем без изменения

Рис. 5.3

Так как AB ? AC + CB, то отсюда получаем соотношение для длин кривых s ? s? + s??. С другой стороны любая пара ??, ??? разбиений кривых ??, ??? образует разбиение ? кривой ?,  так что ?(?, ?) = ?(?? , ??)+?(??? , ???) , поэтому справедливо обратное неравенство s ? s? + s??. 

Теорема 2. Если кривая ? непрерывно дифференцируема, то она спрямляема и ее длина s удовлетворяет неравенству

,

где ,,

, ,,, t?[?, ?].

Доказательство. Пусть ?={?=t0<t1<…<tn=?}, тогда по теореме Лагранжа

|r(tk+1 –r(tk)|==

= и

(? - ?) =? ?(?, ?)=

=?=

= (? - ?).

Для верхней грани получим (? - ?) ? s ? (? - ?).

Откуда и следуют требуемые неравенства.

Теорема 3. Если кривая ? гладкая, то длина дуги s(t) от начала кривой до точки, соответствующей значению параметра t, является строго монотонно возрастающей, непрерывно дифференцируемой  функцией и

=|r?(t)|

Доказательство. На участке [t, t+?t]  по теореме 2 выполнены неравенства

                               (1)

Рис. 5.4

Требуемое равенство получится при переходе к пределу при ?t>0, если учесть, что левая и правая части (1) будут иметь общий пределНапример, Строгое монотонное возрастание функции s(t) следует из условия выполненного для гладкой кривой.

Следствие 1. Для гладкой ? можно выбрать в качестве параметра длину дуги от начала кривой до данной точки s=s(t).

Действительно, для этой функции существует обратная t=t(s) и, следовательно, (t)= (t(s))

В этом случае  |dr/ds|=|r?(t)t?(s)| =|s?(t)t?(s)|==1.

Следствие 2. dt, ds2=dx2+dy2+dz2, ds – элемент длины дуги.

Пример. Длина цепной линии y = ch x.

Параметризацию кривой выберем в виде x = t, y = ch t, t?[0, t0].

Рис. 5.5

s?(t)=|r?(t)|=|i + sh t j|==ch t. Таким образом, s?(t) = (sh t)? . Согласно следствия из теоремы Лагранжа s(t)=sh t + C. s(0)=0 ? s(t) = sh t.

5.3 Плоские кривые

Кривизна, радиус кривизны.

5.3.1.Понятие кривизны и ее вычисление

Рассмотрим концентрические окружности. Будем определять кривизну окружности радиуса R как величину k=1/R. Центром кривизны назовем центр окружности, а ее радиус – радиусом кривизны. Обобщим эти понятия на произвольную гладкую кривую. Рассмотрим гладкую кривую с параметризацией x(t), y(t), для краткости будем использовать обозначения:

x0=x(t0), x=x(t), y0=y(t0),y=y(t),u0=x?(t0), u=x?(t), v0=y?(t0), v=y?(t).

В процессе рассмотрения t0 будет фиксирована, а t  будет рассматриваться, как текущая точка. Составим уравнения нормалей в точках (x0,y0), (x, y).

..

Найдем точку пересечения этих прямых.

или

Умножим первое уравнение на u, а второе на –v и сложим.

(uv0 - vu0)p = u(x0-x) + v(y0 – y) откуда

.

Далее перейдем к пределу при t>t0 (u>u0, v>v0). Получим

.

Подставляя найденной значение параметра для предельной точки пересечения нормалей, получим координаты предельной точки

Полученная таким образом точка называется центром кривизны кривой в заданной точке, а расстояние от этой точки  до центра кривизны называется радиусом кривизны.

Величина обратная радиусу кривизны называется кривизной

.

Рис. 5.6

Окружность с центром в (X0,Y0) и радиуса R0 называется соприкасающейся окружностью.

5.3.2.Выражение центра и радиуса кривизны для явно заданной кривой

Рассмотрим кривую ?, заданную в виде y = f(x), x?[a, b]. В качестве параметризации выберем x = t, y = f(t), t?[a, b]. Тогда

5.3.3.Порядок соприкосновения кривых

Пусть ?1 , ?2 представлены функциями y=f1(x), y=f2(x) и пересекаются в точке (x0, y0). Кривые ?1 , ?2 имеют порядок соприкосновения n в точке (x0, y0), если

, для всех k=0,1,…,n, и .

Достаточными условиями для того, чтобы кривые имели порядок касания n являются следующие условия:

Функции n+1 непрерывно дифференцируемы в окрестности точки x0 и

Для доказательства обозначим f(x)=f2(x) - f1(x). Тогда в окрестности точки x0 имеет место разложение по формуле Тейлора с остатком в форме Лагранжа тогда

k=0,1,…,n+1.

Таким образом, будут выполнены условия из определения порядка касания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

, Основы математического анализа. Часть 1. – М.: Наука, 1971. Основы математического анализа. Т.1.– М.: Наука, 1968. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. – М.: Наука, 1966. Курс математического анализа. Т.1. – М.: Наука, 1973.

5.  Математический анализ. Т.1. – М.: Высшая школа, 1973.

6.         Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1972.

7.  , Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.

8. лементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933.

9. , , Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1972.

10. , Теория функций действительного переменного. – М.: Наука, 1971.

11. Основы математического анализа. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной вещественной переменной. Издательство «Лань», 1998.

12. Маллас Дж. Реляционный язык пролог и его применение. – М.: Наука, 1990.