Дифференциальное исчисление (стр. 9 )

Аналогично определяется  o при x>x0+0, x>x0 - 0, x>±?, x>

Пример:  f(x)=o (1), при x>x0 означает, что f(x) б. м. при x>x0 .

Некоторые примеры работы с символами o для случая x>0 .

o(xn) ± o(xn)= o(xn),

xm o(xn) = o(xn+m),

c o(xn) = o(xn) (c-константа),

o(xn) ± o(xn+p)= o(xn), здесь p натуральное.

o(xn+p)/xp= o(xn) В частности, o(xp)/xp= o(1).

o(an xn± an+1 xn+1±…± an+p xn+p)= o(xn).

Если ?, ?  бесконечно малые и ?=o(?), то говорят, что ?  бесконечно малая более высокого порядка, чем ?.

Определение. Функции f(x), g(x) называются эквивалентными в  x0 ( говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий

, ( в этом случае g называется главной частью f при x> x0)

(  f - главная часть g при x> x0).

Условие эквивалентности записывается в виде f?g, при x>x0 .

Замечание 1. Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.

Замечание 2. Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство f(x)=h(x)g(x), =1.

Замечание 3. Если, например, g(x)?0, то первое условие можно записать в виде .

Определение. Если для некотрого C выполняется:

f(x) ? C при x>x0 , то f(x) называется бесконечно малой порядка при x>x0 ( - положительное вещественное число). Вместо условия x>x0 может быть . Если для некотрого C выполняется f(x) ? C при x>x0 , то в этом случае также говорят о бесконечно малой порядка при x>x0 .

Так, например, функция ? при x>0 (бесконечно малая порядка 2).

Если для некотрого C выполняется:  f(x) ? при x>x0 , то f(x) называется бесконечно большой порядка при x>x0.

Если f(x) б. б. при x>?  и  f(x) эквивалентна  при x>? , то f(x) называется бесконечно большой порядка при x>?. Аналогично определяется порядок бесконечно большой при .

Замечание. Если f(x) б. м. порядка , то 1/f(x) будет б. б. порядка и наоборот.

Примеры. Определить характер функций в  0, 1,+?.

? при x>0 (бесконечно малая порядка 2)

? при x>1,

? при x>(бесконечно большая порядка 3).

? при x>0 (бесконечно малая порядка 2),

? при x>1 (бесконечно малая порядка 1),

? при x>(бесконечно большая порядка 4).

Пример. Функция при x>0 является бесконечно малой порядка .

Пример. Функция при x>1 является бесконечно малой неопределенного порядка. Не существует такого C и действительного числа , что ? при x>1.

Пример. =?, при x>.

При вычислении пределов полезна следующая теорема.

Теорема. Пусть f  эквивалентна f1, g эквивалентна g1 при x>x0 .

Если существует предел , тогда существует и .

Если существует  предел , тогда существует и .

Пример. .

Пример. =1.

Пример. .

3.4 Замечательные пределы

Замечательные пределы, основные эквивалентности.

3.4.1. Первый замечательный предел.

Отметим, что для выполнены неравенства смотри рисунок (доказательство неравенства в конце пункта).

Рис. 3.3

Откуда следуют неравенства

                                                         (1)

Далее = и из (1) получаем, что

Отметим, что попутно были доказаны следующие соотношения:

.

.

Доказательство неравенства 

Рис. 3.3.1

Дуга (на рис. 3.3.1 - это) есть предел длин вписанных ломаных с равноотстоящими узлами при стремлении к бесконечности числа звеньев. Легко показать, что последовательность длин этих ломаных является монотонно возрастающей последовательностью, ограниченной длиной сверху. Например, ,        см. рис. 3.3.2.