Дифференциальное исчисление (стр. 4 )

Рис. 1.9

точки из E, то [ak+1,bk+1] пусть будет правый отрезок . Полученный отрезок обладает свойствами 1), 2). Длины этих отрезков bk - ak=(b - a)/2k стремятся к 0, поэтому существует единственное число c общее для всех этих отрезков. Это число является точной верхней гранью данного множества. Действительно:

?x?E: x ? c.

Предположим противное: ?x?E:x>c, возьмем , для него существует тогда , откуда следует bn < x, что противоречит условию x?[an, bn].

Рис. 1.10

2) ?? > 0 ?x?E: x > c - ?.

Для любого ? существует n: bn - an < ?. Выберем какое либо x?[an, bn] . В силу свойства 1) будет выполнено x < c, кроме того

c-x? bn - an < ?. Таким образом, найдено требуемое x.

Рис. 1.11

Аналогично можно доказать, что у непустого ограниченного снизу множества существует точная нижняя грань.

Теорема 2. Точная верхняя грань (если она существует), единственна.

Доказательство: Пусть имеются две точных грани b2 , b1, b1<b2.  Возьмет ? = b2 -  b1 > 0. По определению точной верхней грани (для b2) ? x?E: x > b2 - ? = b1, что противоречит тому, что b1 верхняя грань.

Рис. 1.12

Замечание. Аналогично доказывается, что точная нижняя грань единственна.

Если E не ограничено сверху, то пишут sup E = +?, аналогично, если E не ограничено снизу, то пишут inf E = -?.

Глава 2. Последовательности

2.1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

Числовая последовательность и различные понятия, связанные с последовательностями. В частности, грани, предел, монотонность.

2.1.1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {an } определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an }: n> an.

Ограниченность сверху. ? b ?n?N: an ? b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у нее существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. ?a ?n?N: an ?  a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. ?c ?n?N: |an| ? c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n, 

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

?n?N: xn ? b (b есть верхняя грань). ??>0 ? n?N: xn > b - ?  (никакое меньшее число не является верхней гранью).

Аналогично определяется точная нижняя грань, обозначаемая  inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b ? sup {xn}.

b ? sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}.  Таким образом, выполнено: или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или выполнено 1) ?n?N: xn > b,

или выполнено 2) ?? > 0 ? n?N: xn ? b - ?.

Монотонно возрастающая последовательность {an}: ?n?N: an ? an+1.

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}: ?n?N: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

2.1.2. Предел последовательности

запись на кванторах

{xn} сходится (у последовательности есть конечный предел).

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность {xn} : .

Замечание. {xn}> a ?  xn=a+?n, где ?n - бесконечно малая последовательность.

2.1.3. Несобственные пределы

Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б. б.).

Отметим, что и .

Поэтому бесконечно большой будет последовательность, которая удовлетворяет условию .

В определении и в определении можно писать:

и .

Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a-?, a+?) называется ? - окрестностью точки  a.

Окрестностью -? называется множество вида (-?,b)  .

Окрестностью +? называется множество вида (b,+?) .

Окрестностью ? называется множество вида {x: |x|>b} =

=(-?,-b)? (b,+?). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности a имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

2.2. Теоремы о пределах последовательностей

Основные свойства сходящихся последовательностей. Свойства монотонных последовательностей.

2.2.1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Доказательство: Предположим противное, существует два предела: , . Возьмем какое нибудь , удовлетворяющее условиям: . Например, можно взять .  По определению предела будет существовать такое, что при . Точно также существует такое, что при . Тогда при будут выполнены неравенства . Полученное противоречие доказывает требуемое утверждение.

Рис. 2.1

Т еорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: . Возьмем ?=1 по определению предела для него существует N?n>N:a -1<xn<a+1. В таком случае для числа b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|} для любого n будет выполнено |xn|<b.

Теорема 3 (О трех последовательностях). Если для трех  последовательностей выполнены неравенства , и , то

Теорема 4 (Переход к пределу в неравенству). Если для всех n выполнены неравенства  и , то .

Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.