Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста (стр. 13 )

·  уметь понимать и воспроизводить доказательства важнейших результатов математического анализа, иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи математического анализа (находить пределы последовательностей и функций, производные и дифференциалы функций одной и нескольких переменных, неопределенные и определенные интегралы в случаях, когда первые выражаются через элементарные функции, вычислять двойные, тройные и криволинейные интегралы, в том числе с помощью замен переменных; строить разложения функций в степенные и тригонометрические ряды, исследовать сходимость разложений); применять средства дифференциального исчисления к исследованию функций одной и нескольких переменных, к решению задач на экстремумы геометрического и практического содержания, к решению некоторых алгебраических задач; применять средства интегрального исчисления к вычислению геометрических и физических величин; использовать идеи и методы математического анализа для решения некоторых задач элементарной математики; строить модели некоторых геометрических, физических, … объектов на языке математического анализа;

·  владеть языком, символикой и формальным аппаратом математического анализа;

·  иметь представление о специфике математического анализа по сравнению с другими математическими дисциплинами, его связях с этими дисциплинами, об истории развития математического анализа, его месте в современной математике и ее приложениях, о некоторых философских аспектах развития математического знания.

Содержание разделов и тем

№	Тема или раздел	Содержание
Введение в математический анализ
1.	Действительные числа: аксиоматическое построение множества действительных чисел, действительные числа как бесконечные десятичные дроби, расстояние во множестве действительных чисел	Аксиоматическое определение множества вещественных чисел (аксиома непрерывности в форме существования разделяющего числа у разграниченных множеств). Простейшие следствия из аксиом. Теорема о существовании конечных граней у ограниченного множества. Теорема о единственности верхней/нижней грани множества. Основные подмножества множества действительных чисел и их свойства. Модуль действительного числа, его свойства. Расширенная область действительных чисел. Числовые промежутки. Расстояние во множестве действительных чисел, окрестности, внутренние точки и предельные точки множеств, открытые и замкнутые множества.
2.	Предел числовой последовательности, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, теоремы о пределах, подпоследовательности и частичные пределы, полнота пространства действительных чисел.	Определение числовой последовательности как функции натурального аргумента. Свойства числовых последовательностей: монотонность, ограниченность, цикличность. Рекуррентное задание последователь-ности. Арифметические и геометрические прогрессии. Определение предела числовой последовательности. Бесконечно малые последовательности, представление сходящейся последовательности в виде суммы её предела и бесконечно малой. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательно-сти как необходимое условие сходимости. Бесконечно большие последовательности. Взаимосвязь бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей. Свойства бесконечно малых последовательностей. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями над последовательностями. Неопределенно-сти. Теоремы о предельном переходе в неравенствах, теорема о сжатой переменной. Теорема о пределе монотонной последовательности. Принцип вложенных отрезков. Неравенство Бернулли. Число е. Подпоследовательности и частичные пределы. Предел подпоследовательности сходящейся последовательно-сти. Принцип Больцано–Вейерштрасса и теорема Больцано–Вейерштрасса. Лемма о конечном подпокрытии (принцип Гейне-Бореля).
3.	Предел числовой функции, теоремы о пределах, сравнение бесконечно малых функций, бесконечно больших функций.[1]	Определение предела функции в точке на языке последовательностей. Односторонние пределы функции в точке на языке последовательностей. Определение предела функции в точке на языке «». Односторонние пределы функции в точке на языке «». Теорема об эквивалентности определений предела функции в точке на языке последовательностей и на языке «»..Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые функции (в точке или на бесконечности). Представление функции, имеющей конечный предел (в точке или на бесконечности), в виде суммы постоянной и бесконечно малой функции. Бесконечный предел функции в точке и на бесконечности. для функции. Критерий Коши существования конечного предела функции (в точке или на бесконечности). Пределы монотонных функций. Свойства бесконечно малых функций (сумма, разность, произведение бесконечно малых функций; произведение бесконечно малой и ограниченной функций). Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов. Сравнение бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно больших функций.
4.	Непрерывность функции в точке и на промежутке, классификация точек разрыва, свойства функций, непрерывных на отрезке	Точки непрерывности и точки разрыва функции. Классификация точек разрыва. Односторонняя непрерывность функции. Свойства функций, непрерывных в точке (непрерывность суммы, произведения, частного, композиции непрерывных функций). Непрерывность функции на промежутке. Теорема Больцано–Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на отрезке. Теорема о существовании обратной функции для функции, непрерывной на промежутке. Непрерывность элементарных функций.[2] Теоремы Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на отрезке, о наибольшем и наименьшем значении функции, непрерывной на отрезке). Понятие равномерной непрерывности функции на промежутке, теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.
Дифференциальное исчисление функций одной действительной переменной
5.	Дифференцируемые функции одной переменной, производная и дифференциал, правила дифференцирования, производные и дифференциалы высших порядков	Задачи, приводящие к понятию производной. Определение производной функции. Дифференцируемая функция и ее дифференциал. Непрерывность как необходимое условие дифференцируемости функции. Геометрический и механический смысл производной. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы дифференциала. Дифференциал как источник приближенных формул. Вычисление производных основных элементарных функций.[3] Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Производная неявной функции. Логарифмическая производная. Производная функции, заданной параметрически. Производные высших порядков. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков.
6.	Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора	Теоремы о средних значениях. Теорема Ферма. Терема Ролля и ее геометрический смысл. Теорема Лагранжа и ее геометрический смысл, формула конечных приращений. Теорема Коши и ее геометрический смысл. Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора для произвольной функции с остаточным членом в форме Пеано, в форме Лагранжа. Формула Маклорена для основных элементарных функций.
7.	Приложения дифференциального исчисления к вычислению пределов функций: применение формулы Тейлора, правила Лопиталя	Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано к раскрытию неопределенностей. Правило Лопиталя для неопределенностей вида 0/0, для неопределенностей вида ¥/¥. Сравнение роста степенных, показательных, логарифмических функций.
8.	Приложения дифференциального исчисления к исследованию функций на монотонность, выпуклость, экстремумы, точки перегиба. Экстремальные задачи для функций одной переменной.	Условие постоянства функции. Достаточное условие строгой монотонности функции. Необходимое и достаточное условия нестрогой монотонности функции. Точка экстремума и экстремум функции. Необходимое условие экстремума функции; достаточные условия экстремума функции в терминах первой производной, в терминах второй производной. Выпуклость и вогнутость графика функции. Неравенства, характеризующие характер выпуклости функции. Критерий выпуклости/вогнутости функции в терминах первой производной, в терминах второй производной. Точка перегиба графика функции. Необходимое условие существования точки перегиба кривой; достаточные условия существования точки перегиба кривой в терминах второй производной, в терминах третьей производной. Исследование функции на экстремумы и точки перегиба с помощью старших производных. Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции и построение ее графика. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке (на интервале). Применение производной при решении экстремальных задач.[4]
Интегральное исчисление функций одной действительной переменной
9.	Неопределенный интеграл: свойства, интегрирование основных классов функций	Первообразная функции. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных интегралов. Приемы нахождения интеграла (непосредственное интегрирование, интегрирование по частям, замена переменной). Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций (дробно-линейные иррациональности, квадратичные иррациональности, дифференциальный бином и случаи его интегрируемости в элементарных функциях). Интегрирование некоторых трансцендентных функций (рационально зависящих от синуса и косинуса, рационально зависящих от экспоненты). Примеры интегралов, не выражающихся через элементарные функции.
10.	Интеграл Римана как предел интегральных сумм, как разделяющее число сумм Дарбу, основные свойства. Интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница.	Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (задача о площади криволинейной трапеции, задача о массе стержня, задача о пройденном пути). Определенный интеграл как предел интегральной суммы (суммы Римана). Ограниченность как необходимое условие интегрируемости. Определенный интеграл как разделяющее число верхних и нижних интегральных сумм (сумм Дарбу). Равносильность определений интеграла Римана, критерий интегрируемости функции по Риману. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла (линейность, аддитивность относительно промежутка интегрирования, монотонность, свойства, выражаемые неравенствами, теорема о среднем). Интеграл по ориентированному промежутку и его свойства. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определенных интегралов (основная формула интегрального исчисления, метод замены переменной, интегрирование по частям).
11.	Несобственные интегралы первого и второго рода	Несобственные интегралы первого рода (интегралы с бесконечными пределами). Геометрический смысл несобственного интеграла первого рода. Несобственные интегралы второго рода (интегралы от неограниченных функций). Геометрический смысл несобственного интеграла второго рода. Сходящиеся и расходящиеся несобственные интегралы. Обобщенная формула Ньютона-Лейбница. Условно и абсолютно сходящиеся несобственные интегралы. Признаки сходимости и расходимости несобственных интегралов (признак сравнения в форме неравенства, признак сравнения в форме эквивалентности).
12.	Некоторые геометрические и физические приложения определенного интеграла[5]	Вычисление площадей плоских фигур. Площадь криволинейной трапеции в декартовых координатах.. Площадь сектора в полярных координатах. Длина дуги параметрически заданной кривой. Дифференциал длины дуги. Общая схема применения определенного интеграла к решению прикладных задач.
Ряды
13.	Числовые ряды: основные понятия, признаки сходимости рядов с положительными членами	Сходящиеся и расходящиеся ряды, сумма ряда. Геометрические прогрессии. Остаток ряда, критерии сходимости ряда в терминах остатков. Необходимое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Критерий Коши сходимости числового ряда. Ряды с положительными членами: ограниченность последовательности частичных сумм как критерий сходимости. Признаки сравнения (в форме неравенства и в форме эквивалентности), признаки Даламбера и Коши, интегральный признак сходимости для рядов с положительными членами. Семейство обобщенных гармонических рядов.
14.	Знакопеременные числовые ряды: абсолютная и условная сходимость. Действия над числовыми рядами	Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница. Знакопеременные ряды: абсолютная и условная сходимость. Сочетательное свойство сходящихся рядов. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. Теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда. Линейные комбинации сходящихся рядов, умножение абсолютно сходящихся рядов.
15.	Функциональные последовательности и ряды: поточечная и равномерная сходимость. Действия над функциональными рядами	Функциональные последовательности: поточечная и равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Непрерывность предела равномерно сходящейся функциональной последовательности. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных последовательностей. Функциональные ряды: поточечная и равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда. Непрерывность суммы равномерно сходящегося функционального ряда. Арифметические действия над функциональными рядами. Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
16.	Степенные ряды: область сходимости, разложение функций в ряды Тейлора	Степенной ряд, центр ряда, теорема Абеля, вид области сходимости, интервал сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Равномерная сходимость степенного ряда на любом отрезке внутри интервала сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда на интервале сходимости. Единственность разложения функции в степенной ряд, ряд Тейлора, достаточные условия сходимости ряда к своей функции. Разложение основных элементарных функций в ряды Маклорена. Биномиальный ряд. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Применение рядов к вычислению пределов, к приближенным вычислениям. Определение функции как суммы ряда.
17.	Тригонометрические ряды: свойства тригонометрической системы функций, разложение функций одной переменной в ряды Фурье	Скалярное произведение функций, определенных на отрезке. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций на отрезке . Тригонометрические многочлены. Тригонометрические ряды, единственность разложения функции в тригонометрический ряд на отрезке . Ряд Фурье, достаточные условия его сходимости к своей функции (теорема Дирихле, без доказательства)[6]. Ряды Фурье четных и нечетных функций. Разложение функции, определенной на отрезке , в ряд по синусам, в ряд по косинусам. Ряды Фурье на произвольном отрезке. Ряды Фурье в комплексной форме. Понятие об интеграле Фурье.
Функции нескольких действительных переменных: введение в анализ и дифференциальное исчисление
18.	Введение в анализ функций нескольких переменных: пространство Rn, сходимость последовательностей, пределы и непрерывность функций	Пространство Rn как нормированное пространство. Внутренние точки, точки прикосновения, предельные точки, граничные точки множества в пространстве Rn. Открытые и замкнутые множества в Rn. Связные множества в Rn. Области и замкнутые области в Rn. Ограниченные множества точек в пространстве Rn. Замкнутые ограниченные множества (компакты) в пространстве Rn. Принцип Больцано-Вейерштрасса для пространства Rn. Предел последовательности точек пространства Rn. Покоординатный характер сходимости в пространстве Rn. Фундаментальные последовательности в пространстве Rn и их сходимость. Функции двух, трех, нескольких переменных: область определения, линии (поверхности) уровня, способы графического представления. Предел функции нескольких переменных: определение в терминах окрестностей и в терминах последовательностей. Непрерывность функции нескольких переменных. Теорема Коши о промежуточном значении для функции нескольких переменных, определенной в области. Теорема Вейерштрасса для функции нескольких переменных, определенной на компакте. Векторнозначные функции нескольких переменных: пределы и непрерывность, сведение к исследованию компонент.
19.	Дифференцируемые функции нескольких переменных: частные производные и полный дифференциал, матрица Якоби, частные производные и дифференциалы высших порядков, неявные функции	Частные приращения и частные производные функции нескольких переменных. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Полное приращение функции нескольких переменных, дифференцируемость и полный дифференциал. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной явно. Существование частных производных как необходимое условие дифференцируемости функции в точке. Непрерывность частных производных в точке как достаточное условие дифференцируемости функции в этой точке. Градиент и производная по направлению. Направление наискорейшего возрастания функции нескольких переменных, геометрический смысл градиента функции двух, трех переменных. Дифференцируемые вектор-функции нескольких переменных, матрица Якоби. Якобиан и его геометрический смысл (для случая функции двух, трех переменных). Дифференцирование сложной (вектор)-функции нескольких переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Теорема о неявной функции. Теорема о системе неявных функций. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявно, заданной параметрически. Зависимые и независимые системы функций в области. Производные высших порядков функции нескольких переменных. Смешанные производные, условия равенства смешанных производных. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных. Дифференциал второго порядка и гессиан функции нескольких переменных.
20.	Экстремумы функций нескольких переменных: необходимое условие экстремума, достаточные условия экстремума, условные экстремумы.	Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Точки минимума, максимума, строгого минимума, строгого максимума функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума функции нескольких переменных (теорема Ферма). Седловые точки функции нескольких переменных. Достаточные условия экстремума/седловой точки функции нескольких переменных в терминах второго дифференциала, в терминах гессиана (критерий Сильвестра знакоопределенности матрицы – без доказательства). Случай функции двух переменных. Условный экстремум функции нескольких переменных при одном или нескольких условиях связи. Метод исключения переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа: необходимое условие условного экстремума в терминах лагранжиана, понятие о достаточных условиях условного экстремума.
Интегральное исчисление функций нескольких действительных переменных
21.	Двойные и тройные интегралы, их свойства, сведение к повторным интегралам.	Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл как предел интегральных сумм, как разделяющее число сумм Дарбу. Основные свойства двойного интеграла. Достаточные условия существования двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному в случае прямоугольной области интегрирования, в случае области, элементарной относительно одной из осей координат. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Задачи, приводящие к понятию тройного интеграла. Тройной интеграл как предел интегральных сумм, как разделяющее число сумм Дарбу. Основные свойства тройного интеграла. Достаточные условия существования тройного интеграла. Сведение тройного интеграла к повторному в случае интегрирования по прямоугольному параллелепипеду (брусу), в случае области интегрирования, элементарной относительно одной из координатных плоскостей, одной из осей координат. Замена переменных в тройном интеграле. Тройной интеграл в цилиндрических и в сферических координатах.
22.	Криволинейные интегралы первого и второго рода. Формула Грина. Полные дифференциалы и их интегрирование	Задачи, приводящие к понятию криволинейного интеграла по длине дуги, по координатам. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги) вдоль плоской или пространственной кривой как предел интегральных сумм. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Сведение криволинейного интеграла первого рода к интегралу Римана. Криволинейный интеграл второго рода (по координатам) вдоль плоской или пространственной кривой как предел интегральных сумм. Основные свойства криволинейного интеграла второго рода. Сведение криволинейного интеграла второго рода к интегралу Римана. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора плоского контура интегрирования, соединяющего две данные точки плоскости. Первообразная полного дифференциала, интеграл от полного дифференциала как разность значений первообразной.
23.	Поверхностные интегралы первого и второго рода. Формула Остроградского-Гаусса, формула Стокса.	Задачи, приводящие к понятию поверхностного интеграла по площади поверхности, по координатам. Ориентируемые (двусторонние) поверхности. Квадрируемые поверхности, площадь поверхности. Понятие о поверхностных интегралах первого и второго рода, их свойствах, их сведении к двойным интегралам. Формула Остроградского-Гаусса и формула Стокса. Условия независимости поверхностного интеграла второго рода от выбора поверхности, натянутой на данный контур. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора контура интегрирования, соединяющего две данные точки пространства.
24.	Элементы векторной теории поля. Геометрические и физические приложения кратных и криволинейных интегралов.	Вычисление меры (длины, площади, объема) области с помощью криволинейных, двойных/поверхностных, тройных интегралов. Вычисление массы кривой, поверхности, тела с помощью криволинейных, двойных/поверхностных, тройных интегралов. Статические моменты и моменты инерции точки и системы точек; вычисление статических моментов и моментов инерции кривой, поверхности, тела с помощью криволинейных, двойных/поверхностных, тройных интегралов. Скалярные и векторные поля. Градиент скалярного поля, дивергенция и ротор векторного поля в терминах символического оператора «набла». Дифференциальные операции второго порядка, оператор Лапласа. Циркуляция векторного поля вдоль кривой. Поток векторного поля через поверхность. Формулы Стокса, Остроградского-Гаусса в обозначениях векторной теории поля. Бескоординатное определение ротора и дивергенции. Потенциальные и соленоидальные поля. Вычисление работы силы при криволинейном перемещении тела; потенциальные силы, напряженность и потенциал поля.

Общая трудоемкость дисциплины: 490.