Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста (стр. 14 )

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.2 Теория функций действительного переменного

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций действительного переменного» является введение студентов в систему базовых понятий, структур, методов математического анализа в широком смысле в его современной форме, формирование умения работать с математическими объектами высокого уровня абстракции, развитие соответствующего типа мышления.

В результате освоения дисциплины «Теория функций действительной переменной» обучающийся должен:

·  знать основные понятия и теоремы теории множеств (мощность множества, счетные множества, множества мощности континуум, теорема Кантора, Теорема Кантора-Бернштейна); определения и базовые свойства важнейших топологических структур (метрика, норма, скалярное произведение); определения основных понятий математического анализа (предел последовательности, фундаментальные последовательности, предел функции, непрерывность функции и др.) в абстрактном варианте, применительно к произвольным метрическим пространствам и их отображениям; основные результаты функционального анализа (теорема Банаха о сжимающих отображениях и др.); понятия меры Лебега, измеримой функции, интеграла Лебега; конструкции основных пространств функционального анализа, в том числе пространств суммируемых функций;

·  уметь проводить доказательства некоторых результатов теории множеств, функционального анализа, теории меры и интеграла Лебега, получать и объяснять результаты классического анализа как частные случаи теорем функционального анализа; проверять выполнение аксиом метрического, нормированного, евклидова пространства; вычислять меру Лебега числовых множеств, интеграл Лебега числовых функций в простейших случаях;

Краткое содержание дисциплины

Множество как неопределяемое понятие в теории Кантора. Равномощные множества. Мощность множества. Конечные множества. Счетные множества. Счетность множества рациональных чисел, множества алгебраических чисел. Несчетность отрезка [0;1]. Множества мощности континуум. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна. Булеан множества. Теорема Кантора о сравнении мощности множества и мощности его булеана. Множества мощности гиперконтинуум. Бесконечность шкалы мощностей. Парадоксы теории множеств Кантора. Понятие о проблеме континуума. Представление об аксиоматической теории множеств.

Метрическое пространство, примеры метрических пространств. Предел последовательности точек метрического пространства. Открытые и замкнутые множества. Полные метрические пространства, компактные метрические пространства, связные метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств. Сохранение компактности и связности при непрерывных отображениях. Сжимающие отображения метрических пространств. Теорема Банаха (принцип сжимающих отображений).

Общая трудоемкость дисциплины: 90 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.3 Теория функций комплексного переменного

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория функций комплексного переменного» является усвоение студентами базовых результатов комплексного анализа, типичных методов их получения, специфики объектов комплексного анализа по сравнению с вещественным анализом, завершение формирования таких фундаментальных понятий, как функция, ряд, производная, интеграл, осознание обучающимися единства математики.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Теория функций комплексного переменного» обучающийся должен:

знать основные понятия, относящиеся к функциям комплексной переменной (различные определения аналитической функции; производная функции комплексной переменной, геометрический смысл ее модуля и аргумента; интеграл функции комплексной переменной вдоль кривой в комплексной плоскости; ряды Тейлора и Лорана, особые точки аналитической функции и вычеты в них; основные элементарные функции в комплексной плоскости и их свойства; многозначные функции и их однозначные ветви, римановы поверхности многозначных функций), а также фундаментальные результаты комплексного анализа (условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной; интегральная теорема Коши, формула Коши; равносильность различных определений аналитической функции, бесконечная дифференцируемость аналитической функции комплексной переменной; теорема о вычетах);

уметь применять методы теории функций комплексной переменной при решении типовых задач комплексного и действительного анализа (разложение функций в ряды; восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части; выделение особых точек однозначного характера аналитической функции, определение их типов, вычисление вычетов в особых точках; вычисление интегралов комплекснозначных функций и интегралов от функций действительной переменной с использованием интегралов по комплексному контуру; нахождение образов и прообразов точек и простых областей и др.);

владеть навыками оперирования с комплексными числами и функциями комплексной переменной, языком комплексного анализа.

Краткое содержание дисциплины

Поле комплексных чисел

Комплексные числа и действия над ними. Модуль комплексного числа, метрика во множестве комплексных чисел. Окрестности. Расширенная комплексная плоскость. Сфера Римана. Стереографическая проекция. Линии и области в комплексной плоскости: параметрическое задание кривых; прямые и окружности; полуплоскость, круг, внешность круга.

Функции комплексного переменного

Комплекснозначные функции действительной переменной. Комплекснозначные функции комплексной переменной. Действительная и мнимая части функции комплексной переменной. Изображение преобразования комплексной плоскости, задаваемого функцией комплексной переменной.

Последовательности и ряды комплексных чисел, функциональные последовательности и ряды в комплексной области. Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Примеры разложения функций комплексной переменной в степенные ряды (геометрическая прогрессия).

Дифференциальное исчисление функций комплексной переменной

Дифференцируемость и производная функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана дифференцируемости функции комплексной переменной. Понятие аналитической функции как функции, дифференцируемой в области. Гармонические функции и их связь с аналитическими.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение. Области однолистности аналитической функции. Примеры.

Элементарные функции в комплексной области

Линейная и дробно-линейная функции. Круговое свойство дробно-линейной функции. Задание дробно-линейной функции тремя парами соответствующих точек расширенной комплексной плоскости.

Степенная функция и радикал. Многозначность радикала. Понятие римановой поверхности. Риманова поверхность радикала.

Показательная функция в комплексной плоскости как сумма степенного ряда. Сохранение свойств экспоненты при аналитическом продолжении с вещественной прямой на комплексную плоскость. Периодичность экспоненты в комплексной плоскости. Логарифмическая функция как обратная к показательной, ее многозначность. Риманова поверхность логарифмической функции. Степень с произвольным комплексным показателем.

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Выражение обратных тригонометрических функций через логарифм. Гиперболические и обратные гиперболические функции. Выражение обратных гиперболических функций через логарифм. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Функция Жуковского и ее свойства.

Интегральное исчисление функций комплексной переменной

Интегрирование комплекснозначных функций действительной переменной. Интеграл от функции комплексного переменного по кусочно-гладкой кривой: определение в терминах предела интегральных сумм, сведение к криволинейному интегралу. Теорема Коши. Теорема Коши для случая составного контура.

Первообразная и интеграл. Интегральное определение логарифмической функции в комплексной области.

Интегральная формула Коши и ее следствия (дифференцируемость производной аналитической функции, интегральные формулы для коэффициентов степенного ряда, неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда).

Разложение аналитической функции в степенной ряд. Ряд Лорана

Существование разложения в степенной ряд для функции, дифференцируемой в области. Второе определение аналитической функции (как функции, допускающей представление в виде суммы ряда). Вычисление коэффициентов ряда Тейлора. Целые функции. Теорема Лиувилля. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.

Ряд Лорана и его область сходимости. Существование разложения в ряд Лорана для функции, аналитической в кольце.

Особые точки однозначного характера и их классификация. Лорановское разложение функции в проколотой окрестности особой точки. Характеристика правильных точек, полюсов, существенно особых точек в терминах лорановского разложения. Кратность полюса.

Бесконечность как особая точка аналитической функции. Целые функции с полюсом в бесконечно удаленной точке, с существенно особой точкой на бесконечности.

Вычеты аналитической функции

Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке однозначного характера. Вычисление вычетов. Теорема о вычетах. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о полной сумме вычетов. Применение теории вычетов к вычислению определенных и несобственных интегралов от функций действительной переменной.

Общая трудоемкость дисциплины: 90

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Ф.4 Дифференциальные уравнения и уравнения уравнения с частными производными

Целью преподавания учебной дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»является усвоение студентами базовых результатов теории дифференциальных уравнений, типичных методов их получения, особенностей применения математических методов для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов, осознание обучающимися единства «чистой» и прикладной математики.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины «Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными»обучающийся должен:

·  знать основные понятия, относящиеся к ОДУ и ДУЧП (порядок уравнения, решение уравнения, начальные условия, краевые условия, интегральные кривые и фазовые кривые системы ОДУ, характеристики ДУЧП, положения равновесия системы ОДУ, понятия, связанные с устойчивостью положений равновесия); основания классификации ОДУ и ДУЧП, фундаментальные результаты, касающиеся существования и единственности решений в линейном и нелинейном случае, а также их устойчивости;

·  уметьнаходить общие и частные решения изученных классов ОДУ первого порядка, некоторых ОДУ высших порядков, допускающих понижение порядка; решать линейные ОДУ высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ с постоянными коэффициентами; исследовать устойчивость тривиального решения автономных нормальных систем ОДУ; находить характеристики линейных ДУЧП первого порядка и их решения с учетом начального условия;

·  владетьнавыками решения ОДУ и ДУЧП и построения интегральных и фазовых кривых с помощью пакетов компьютерной математики.

Краткое содержание дисциплины

Задачи, приводящие к обыкновенным дифференциальным уравнениям и уравнениям с частными производными. Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Задача о радиоактивном распаде, задача о росте популяции при неограниченных ресурсах. Задача о колебаниях физического маятника, задача об электромагнитных колебаниях в контуре. Задача о колебаниях упругой струны. Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальное уравнение семейства кривых.

Дифференциальные уравнения у Ньютона, у Лейбница, логика развития теории дифференциальных уравнений.

Понятие дифференциального уравнения и некоторые его обобщения. Понятие решения дифференциального уравнения. ОДУ и ДУЧП. Порядок дифференциального уравнения и размерность многообразия его решений. Понятие общего решения ОДУ. Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Постановка начальных и краевых задач.

ОДУ в нормальной форме; ОДУ в общей форме; ОДУ первого порядка в симметричной форме. Примеры решения дифференциальных уравнений.

Возможности изучения дифференциальных уравнений в школьном курсе математики.

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка в нормальной форме

Геометрическая интерпретация ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной: поле направлений, изоклины, интегральные кривые. Задача Коши дляОДУ первого порядка в нормальной форме: теорема существования и единственности решения (без доказательства)[7].

Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные ОДУ первого порядка, линейные ОДУ первого порядка и уравнения Бернулли, уравнения в полных дифференциалах). Понятие об интегрирующем множителе. Глобальное существование и единственность решения задачи Коши в случае линейного ОДУ первого порядка. Структура множества решений однородного и неоднородного линейного ОДУ первого порядка.

Существование ОДУ первого порядка, не разрешимых в квадратурах. Приближенное интегрирование уравнений первого порядка с помощью метода ломаных (замены дифференциального уравнения разностным).

Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной

Особенности постановки задачи Коши дляОДУ первого порядка, не разрешенного относительно производной. Теорема существования и единственности решения, особые точки и особые решения.

Случаи дифференциального уравнения первого порядка в общей форме, допускающего параметризацию. Уравнения Клеро и Лагранжа.

Задача об огибающей семейства кривых.

Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков в нормальной форме

Задача Коши для ОДУn-го порядка в нормальной форме. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Основные классы уравнений, допускающих понижение порядка. Приближенное интегрирование ОДУ высших порядков с помощью разностных схем.

Нормальные системы ОДУ, сведение уравнений высших порядков к нормальным системам. Сведение нормальной системы n ОДУ к уравнению n-го порядка (исключение неизвестных функций, рассмотрение на примерах). Двумерные системы ОДУ и их фазовые кривые.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков и нормальные системы линейных ОДУ

Линейные ОДУ высших порядков и их сведение к нормальным системам линейных ОДУ. Глобальный характер теоремы существования и единственности решения задачи Коши для системы линейных ОДУ; геометрическая интерпретация решения в случае двумерной системы. Множество решений однородной системы линейных ОДУ как векторное пространство. Фундаментальная матрица системы, определитель Вронского системы решений, теорема о свойствах вронскиана, размерность пространства решений. Построение фундаментальной матрицы длясистемы с постоянными коэффициентами матричным методам: характеристическое уравнение, случай простых корней, случай кратных корней, случай комплексно сопряженных (простых или кратных) корней.