Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста (стр. 16 )

Кривизна кривой на поверхности. Вторая квадратичная форма поверхности. Главные кривизны Полная и средняя кривизны поверхности. Поверхности постоянной кривизны 21. Предмет внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса. Понятие об изгибании поверхности. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Теорема Гаусса-Бонне (без доказательства). Дефект геодезического треугольника. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны

20. Внутренняя геометрия поверхности.

Предмет внутренней геометрии поверхности. Теорема Гаусса. Понятие об изгибании поверхности. Геодезическая кривизна кривой. Геодезические линии. Теорема Гаусса-Бонне (без доказательств). Дефект геодезического треугольника. Реализация в малом геометрии Лобачевского на поверхности постоянной отрицательной кривизны.

Общая трудоемкость дисциплины: 398.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент; , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. Ф.7 Теория чисел

Целью преподавания учебной дисциплины «Теория чисел» является сообщить студентам основные сведения из элементарной теории чисел и содействовать формированию у будущего учителя глубоких арифметических представлений, без наличия которых невозможно правильное понимание развития многих других разделов математики и построение математики в целом.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины «Теория чисел» студент должен:

·  иметь представление об основных понятиях и методах теории чисел, ее классических задачах;

·  знать теорию сравнений и ее арифметические приложения, арифметические функции как аппарат теоретико-числовых исследований;

·  знать о возможности представления и приближения действительных чисел цепными дробями;

·  иметь навыки решения теоретико-числовых задач с использованием теории сравнений и цепных дробей;

·  расширить представление об арифметической природе числа.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание разделов и тем
1.	Делимость в кольце целых чисел и простые числа.	предмет теории чисел, краткая история развития теории чисел. Теорема о делении с остатком. Отношение делимости в кольце целых чисел. НОД и НОК целых чисел, их свойства. Алгоритм Евклида и его приложения. Свойства взаимно простых чисел. Простые и составные числа. Бесконечность множества простых чисел в натуральном ряду.
2.	Цепные дроби.	Цепная дробь, порядок цепной дроби, неполные частные цепной дроби, подходящие дроби, числители и знаменатели подходящих дробей, значение цепной дроби, полные частные цепной дроби. Свойства числителей и знаменателей подходящих дробей. Свойства подходящих дробей.
3.	Арифметические функции.	Сумма делителей s(n) и число делителей t(n). Функция Эйлера j(n). Мультипликативность и явные формулы. Тождество Гаусса для функции Эйлера.
4.	Теория сравнений. Арифметические приложения теории сравнений.	Отношение сравнимости в кольце целых чисел и его свойства. Классы целых чисел по данному модулю и их свойства. Кольцо классов вычетов.. Поле вычетов по простому модулю. Мультипликативная группа классов вычетов, взаимно простых с модулем. Полная и приведенная системы вычетов по данному модулю и их свойства. Теоремы о вычетах линейных форм. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнение и система сравнений с неизвестной величиной. Сравнения 1-ой степени. Теорема о числе решений сравнения 1-ой степени. Различные способы решения. Равносильные системы. Теорема о равносильности сравнения и системы сравнений. Сравнения по простому модулю. Теорема о равносильности сравнения по простому модулю приведенному сравнению. Теорема о понижении степени сравнения по простому модулю. Теорема о числе решений сравнения по простому модулю. Первообразные корни. Основное свойство первообразного корня. Теорема о существовании первообразного корня по простому модулю. Двучленные сравнения по простому модулю. Теорема о разрешимости двучленного сравнения. Квадратичные вычеты и невычеты. Число классов квадратичных вычетов и число классов квадратичных невычетов по простому модулю. Критерий квадратичного вычета и невычета по простому модулю. Символ Лежандра. Критерий Эйлера для символа Лежандра. Свойства символа Лежандра. Проверка правильности выполнения арифметических операций. Нахождение остатков от деления степеней числа.
5.	Алгебраические и трансцендентные числа.	Определение алгебраического числа, минимального многочлена алгебраического числа, степени алгебраического числа, целого алгебраического числа, трансцендентного числа. Теорема Лиувилля.

Общая трудоемкость дисциплины: 90.

Составитель: , кандидат физико-математических наук, доцент

ДПП. Ф.8 Числовые системы

Целью преподавания данной дисциплины является систематизация знаний студентов о различных числовых системах и их свойствах, начиная с натуральных чисел и заканчивая алгебрами кватернионов;

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

·  иметь представление о формальных моделях числовых множеств, об аксиоматическом подходе к построению числовых систем и о требованиях к аксиоматическим теориям.

·  знать аксиоматические определения и основные свойства систем натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел.

·  уметь доказывать простейшие свойства натуральных чисел методом математической индукции, применять данный метод к решению задач, доказывать рациональность или иррациональность чисел.

Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы (раздела)	СОДЕРЖАНИЕ
1. 2. 3. 4. 5. 6.	Аксиоматическая теория натуральных чисел Аксиоматическая теория целых чисел Аксиоматическая теория рациональных чисел Аксиоматическая теория действительных чисел Аксиоматическая теория комплексных чисел Линейные алгебры над полями	Аксиоматическая теория натуральных чисел. Требования, предъявляемые к системе аксиом. Формулировка аксиоматической теории натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Свойства. Неравенства на множестве натуральных чисел. Натуральные кратные и степени элементов полугруппы, их свойства. Категоричность аксиоматической теории натуральных чисел, независимость аксиомы индукции и её роль в арифметике. Эквивалентность аксиомы индукции и теоремы о наименьшем элементе. Различные виды доказательств методом математической индукции Упорядоченные множества и системы. Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории. Упорядоченные множества и системы. Теорема о порядке Аксиоматическая теория рациональных чисел. Первичные термины и аксиомы. Свойства рациональных чисел. Плотность поля рациональных чисел, непротиворечивость, категоричность аксиоматической теории рациональных чисел. Последовательности в нормированных полях. Аксиоматическая теория действительных чисел. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел. Существование корня натуральной степени из положительного действительного числа. Аксиоматическая теория комплексных чисел. Невозможность линейного упорядочения кольца комплексных чисел Кватернионы. Линейные алгебры над полями. Алгебры конечного ранга. Теорема Фробениуса

Общая трудоемкость дисциплины: 90

Составитель: , доцент

ДПП. Ф.9 Математическая логика

Целью преподавания учебной дисциплины «Математическая логика» является формирование представлений о методах математической логики, о решении проблем оснований математики и знакомство с основными результатами в этой области.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

·  иметь представление об основных понятиях математической логики; представление о проблемах оснований математики и основных результатах в математической логике;

·  знать и уметь доказывать основные теоремы курса математической логики;

·  уметь распознавать тождественные истины и общезначимые формулы; записывать на языке логики предикатов содержательные математические предложения; иллюстрировать примерами основные характеристики теории первого порядка; приводить примеры теорий первого порядка и их моделей;

·  владеть дедуктивным аппаратом изучаемых логических исчислений.

Краткое содержание дисциплины

№	Тема или раздел	Содержание
1.	Введение	Дедуктивный характер математики. Предмет математической логики, её роль в вопросах обоснования математики. Интенсивное развитие математической логики в настоящее время в связи с созданием и применением автоматических систем управления и распространением метода формализации при изучении различных теорий.
2.	Алгебра высказываний и ее аксиоматическое построение	Понятие высказывания. Логические операции над высказываниями. Формулы. Истинностные значения формул. Равносильность. Равносильные преобразования формул. Представление истинностных функций формулами. Полные и неполные системы функций. Тавтологии– законы логики высказываний. Законы контрапозиции, исключенного третьего, двойного отрицания, приведение к абсурду и др. Нормальные формы.
3.	Логика предикатов	Понятие предиката. Кванторы общности и существования. Формулы логики предикатов. Свободные и связные переменные. Истинностные значения формул. Равносильность. Основные равносильности. Равносильные преобразования формул. Предваренная нормальная форма. Общезначимость и выполнимость формул. Свойства. Примеры формулы, выполнимой в бесконечной области и невыполнимой ни в какой конечной области. Проблема разрешения для общезначимости и выполнимости, неразрешимость ее в общем случае (без доказательств
4.	Формализованные математические теории	Язык первого порядка. Термы и формулы. Логические и специальные аксиомы. Правила вывода. Примеры математических теорий из алгебры, анализа, геометрии. Доказательства в теории. Производные правила вывода. Доказуемость частных случаев тавтологий. Теорема дедукции. Проблемы непротиворечивости, полноты, разрешимости теорий. Непротиворечивость исчисления предикатов (теории без специальных аксиом). Интерпретация языка теории. Истинностные значения формул в интерпретации.

Общая трудоемкость дисциплины: 90