Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста (стр. 15 )

Метод вариации произвольных постоянных в решении неоднородных систем линейных ОДУ. Метод подбора частного решения в случае правой части специального вида.

Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений однородного уравнения. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. Решение неоднородного уравнения: метод вариации произвольных постоянных, метод подбора частного решения в случае правой части специального вида. Свободные и вынужденные колебания, явление резонанса.

Введение тригонометрических функций как решений дифференциальных уравнений. Получение свойств синуса и косинуса на основе анализа уравнения и начальных условий.

Понятие о краевой задаче для ОДУ. Собственные значения и собственные функции краевой задачи. Понятие о линейных дифференциальных операторах. Примеры решения простейших краевых задач.

Устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Понятия устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости решения ОДУ. Случай линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами или системы уравнений: анализ условий устойчивости тривиального решения. Фазовые портреты двумерных автономных систем. Нелинейные ОДУ: стационарные решения (положения равновесия), линеаризация системы в окрестности положения равновесия, теорема Ляпунова.

Линейные и квазилинейные ДУЧП первого порядка

Понятие квазилинейного, линейного ДУЧП первого порядка, характеристической системы, характеристики квазилинейного ДУЧП первого порядка. Теоремы о связи между характеристиками квазилинейного ДУЧП первого порядка и его интегральными поверхностями. Постановка начальной задачи, примеры ее решения.

Линейные и квазилинейные ДУЧП второго порядка

Классификация ДУЧП второго порядка (эллиптические, гиперболические, параболические в данной области уравнения), приведение их к каноническому виду.

Волновое уравнение: начальная задача, формула Даламбера, краевая задача, понятие о методе Фурье

Общая трудоемкость дисциплины: 90

Составитель: , кандидат физико-математических наук

ДПП. Ф.5 Алгебра

Основные цели и задачи курса «Алгебра» состоит в следующем:

Ø  раскрыть студентам значение алгебры, углубить их представление о месте алгебры в изучении окружающего мира;

Ø  помочь будущему учителю математики понять смысл и значение разделов математики, относящихся к алгебре;

Ø  изучить основные виды алгебр и воспитать общую алгебраическую культуру, необходимую будущему учителю для понимания как основного курса математики, так и школьных факультативных курсов;

Ø  развивать умение самостоятельной работы с математической литературой;

Ø  курс «Алгебры» должен дать студентам знания, навыки и умения, необходимые для успешного изучения других разделов математики.

Краткое содержание дисциплины

В первом разделе «Элементы логики и теории множеств» даются понятия, необходимые для дальнейшего изучения курса алгебры и других математических дисциплин. Особенно важным является понятие «отношение эквивалентности», оно служит основой для введения новых понятий. Цель этого раздела – заложить основы современного математического языка, получить некоторые навыки работы с математическими понятиями.

Раздел «Основные алгебраические структуры» включает в себя изучение алгебры как множества с алгебраическими операциями, групп, колец, полей и их свойств. Рассматриваются их важнейшие примеры, как то: кольцо многочленов, кольца вычетов, поля действительных и комплексных чисел.

В следующих четырех разделах изучается линейная алгебра.

В теме «Векторные пространства» рассматриваются понятия векторного пространства над произвольным полем, подпространства, линейной зависимости, базиса и ранга системы векторов, базиса и размерности пространства.

В темах «Системы линейных уравнений», «Матрицы и определители» предусмотрено изучение систем линейных уравнений, матриц и определителей и их основных свойств.

В теме «Линейные преобразования» изучаются линейные отображения и евклидовы пространства. В двух следующих разделах изучаются элементы теории групп и теории колец. Рассматриваются циклические группы, нормальные делители, идеалы колец, фактор-объекты.

В следующих разделах изучаются кольца многочленов от одной и нескольких переменных над различными полями, в них изложены вопросы алгебры непосредственно примыкающие к школьному курсу алгебры.

Раздел «Элементы теории полей» содержит сведения об алгебраических числах и различных расширениях полей, необходимые для выяснения разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Изучение каждого раздела предполагает подробные доказательства приводимых результатов.

Материал курса алгебры имеет непосредственное отношение к математике средней школы. Некоторые разделы тесно связаны со школьной программой, остальные же являются основой факультативных курсов.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины «Алгебра» студент должен:

Знать:

- базовую терминологию, основные понятия и теоремы дисциплины;

- основные свойства важнейших алгебраических структур (групп, колец, полей);

- основные алгоритмы алгебры

Уметь:

- работать с подстановками, многочленами, матрицами;

- решать системы линейных уравнений;

- находить канонические формы линейных преобразований;

- применять основные понятия и теоремы дисциплины при решении как алгебраических задач, так и задач смежных дисциплин.

Общая трудоемкость дисциплины: 400.

Составители: Глухова., кандидат биологических наук, доцент; , кандидат физико-математических наук, доцент.

ДПП. Ф.6 Геометрия

Курс геометрии в педагогическом университете имеет основные цели:

- вооружить студентов обширными знаниями в области геометрии и обеспечить развитие широкого взгляда на геометрию;

- дать студенту высокую профессиональную подготовку, позволяющую преподавать геометрию в средней школе и квалифицированно вести спецкурс по геометрии.

Краткое содержание дисциплины

1. Векторы и операции над ними.

Скалярные и векторные величины в математике. Вектор. Длина и направление вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Равные векторы Линейные операции над векторами. Линейная зависимость векторов. Координаты вектора относительно данного базиса и их свойства Аксиомы векторного пространства Примеры векторных пространств. Скалярное произведение векторов и его свойства. Применение векторов к решению задач школьного курса геометрии.

2. Метод координат на плоскости.

Аффинная система координат на плоскости. Деление отрезка в данном отношении. Простое отношение трех точек прямой. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Полярные координаты Переход от полярных координат к декартовым и обратно. Преобразование аффинной системы координат. Левые и правые системы координат. Ориентация плоскости. Преобразование прямоугольной декартовой системы координат. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Примеры. Алгебраическая линия и ее порядок. Прямая линия. Различные способы задания прямой. Общее уравнение прямой. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении прямой. Геометрический смысл знака трехчлена Ах+Ву+С. Взаимное расположение двух прямых. Признаки параллельности и перпендикулярности двух прямых Расстояние от точки до прямой. Угол между двумя прямыми. Пучок прямых. Метод координат в решении задач школьного курса геометрии.

3. Линии второго порядка

Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства Гипербола: определение, каноническое уравнение, свойства. Асимптоты. Парабола: определение, каноническое уравнение, свойства Фокусы и директрисы линий второго порядка Уравнение линии второго порядка в полярных координатах. Общее уравнение линии второго порядка Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Классификация линий второго порядка.

4. Преобразования плоскости.

Преобразования, примеры. Группа преобразований, подгруппа группы преобразований. Движение плоскости. Примеры. Аналитическое выражение движения. Осевая симметрия, разложение движений в произведение осевых симметрии. Классификация движений плоскости. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Преобразования подобия. Аналитическое выражение. Гомотетия. Подобие как произведение гомотетии на движение. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы. Аффинные преобразования. Аналитическое выражение. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы. Теоретико-групповой принцип построения геометрии. Приложение геометрических преобразований к решению задач.

5. Метод координат в пространстве.

Аффинная система координат в пространстве. Деление отрезка в данном отношении. Прямоугольная декартова система координат. Расстояние между двумя точками. Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Примеры. Векторное и смешанное произведение векторов. Вычисление площади треугольника и объема тетраэдра Условия коллинеарности двух векторов, компланарности трех векторов.

6. Прямые и плоскость в пространстве.

Различные способы задания плоскости. Общее уравнение плоскости. Геометрический смысл коэффициентов при текущих координатах в общем уравнении. Геометрический смысл знака многочлена Ах+Ву+Сz+-Д. Взаимное расположение двух, трех плоскостей. Признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Угол между двумя плоскостями. Различные способы задания прямой. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Связка прямых и плоскостей.

7. Поверхности второго порядка

Эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды Определения, канонические уравнения, свойства. Цилиндр и конус второго порядка Конические сечения. Прямолинейные образующие поверхности второго порядка.

8. Аффинные и евклидовы n-мерные пространства

Аксиомы Вейля n-мерного аффинного вещественного пространства Аффинная система координат. Определение к-мерных плоскостей. Взаимное расположение двух плоскостей. Аффинные преобразования. Предмет аффинной геометрии. Аксиомы n-мерного евклидова пространства Расстояние между двумя точками, угол между векторами. Ортогональность. Ортонормированные системы координат. Движения, группа движений. Предмет евклидовой геометрии. Преобразование подобия. Группа подобий. Групповой подход к геометрии.

9. Квадратичные формы и квадрики.

Квадратичные формы Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Квадрики в аффинном пространстве. Классификация квадрик. Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве.

10. Проективные пространства и их модели.

Модели проективной плоскости и проективного пространства Аксиомы проективной плоскости. Проективные координаты. Уравнение прямой на проективной плоскости. Принцип двойственности. Формы первой ступени. Теорема Дезарга Проективные преобразования. Группа проективных преобразований. Предмет проективном геометрии.

11. Основные факты проективной геометрии.

Двойное (сложное) отношение и его инвариантность при проективных преобразованиях Гармоническая четверка точек. Построение четвертой гармонической. Проективные соответствия в формах первой ступени. Линии второго порядка на проективной плоскости. Канонические уравнения линий второго порядка в проективных координатах Проективная классификация линий второго порядка. Полюс и поляра Понятие о полярном соответствии. Конструктивные задачи. Приложения к решению задач школьного курса геометрии. Геометрия на проективной плоскости с фиксированной прямой. Евклидова геометрия с проективной точки зрения.

12. Изображения плоских и пространственных фигур при параллельном проектировании. Аксонометрия.

Параллельное проектирование. Изображение плоских и пространственных фигур параллельной проекции. Изображение окружности и сферы Понятие о методе Монжа. Аксонометрия. Теорема Польке-Шварца Изображение прямых и плоскостей. Полные и неполные изображения, их применение при изучении стереометрии. Позиционные и метрические задачи.

13. Общие вопросы аксиоматики.

Понятие об аксиоматическом методе. Понятие об интерпретации (модели) системы аксиом. Непротиворечивость, независимость и полнота системы аксиом проективной геометрии.

14. Исторический обзор обоснований геометрии. Начала «Евклида».

Геометрия до Евклида. «Начала» Евклида. Критика системы Евклида. Пятый постулат. Предложения, эквивалентные пятому постулату. Предшественники и творцы неевклидовой геометрии (Саккери, Ламберт, Лежандр, Гаусс, Больяи, Н И. Лобачевский).

15. Элементы геометрии Лобачевского. Неевклидовы пространства

Аксиома Лобачевского. Основные факты геометрии Лобачевского. Система аксиом Гильберта (обзор). Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского. Параллельные прямые и их свойства. Сверхпараллельные прямые и их свойства Угол параллельности. Простейшие кривые на плоскости Лобачевского; окружность, эквидистанта, орицикл. Модели плоскости Лобачевского. Независимость аксиомы параллельных от остальных аксиом школьного курса геометрии. Элементы сферической геометрии. Модели плоскости Римана.

16 Системы аксиом Вейля евклидова пространства

Непротиворечивость и полнота системы аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства. Определение прямых, плоскостей, лучей, отрезков, углов. Примеры доказательств некоторых теорем. Аксиоматика школьного курса геометрии.

17. Длина отрезка. Площадь многоугольника Теорема существования и единственности.

Длина отрезка, аксиомы. Теорема существования и единственности. Площадь многоугольника, аксиомы. Теорема существования и единственности. Равновеликость и равносоставленность. Теория объемов (обзор).

18. Элементы топологии.

Топологические пространства определение, примеры. Внутренние, внешние и граничные точки, границы множества. Замкнутые множества Топология, индуцируемая метрикой. Отделимость, связанность, компактность. Непрерывные отображения и их свойства Гомоморфизм. Предмет топологии. Топологические многообразия. Одномерные и двумерные многообразия. Понятие о клеточном разложении и эйлерова характеристика двумерного многообразия. Ориентируемые и неориентируемые двумерные многообразия. Топологические свойства листа Мебиуса и проективной плоскости. Теорема Эйлера для многогранников. Топологически и метрически правильные многогранники. Доказательство существования пяти типов правильных многогранников.

19. Понятие гладкой линии и гладкой поверхности. Первая и вторая квадратичные формы

Векторные функции одного и двух скалярного аргументов и их дифференцирование. Понятие линии и гладкой кривой в евклидовом пространстве, их параметризация с помощью вектор-функции. Касательная, длина кривой, кривизна и кручение кривой. Понятие о натуральных уравнениях кривой. Винтовые линии.

Понятие поверхности. Гладкие поверхности, их параметризация: с помощью вектор-функции. Касательная плоскость и нормаль. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.