Основная образовательная программа высшего профессионального образования подготовки специалиста (стр. 19 )

Показательные, логарифмические уравнения и неравенства. Классические неравенства и неравенства, связанные с ними

Общая трудоемкость дисциплины: 68 часа

Разработчик : , кандидат педагогических наук, доцент.

ДПП. В1 Дисциплины по выбору

2  Экстремальные задачи в курсе математического анализа

Целью преподавания учебной дисциплины «Экстремальные задачи в курсе математического анализа является усвоение студентами базовых результатов математического программирования, вариационного исчисления, теории принятия решений, типичных методов их получения, алгоритмов решения основных задач указанных дисциплин, особенностей применения методов математического анализа для моделирования физических, биологических, экономических и иных процессов.

В результате освоения дисциплины «Экстремальные задачи в курсе математического анализа обучающийся должен:

·  знать основные понятия теории экстремальных задач (математического программирования, вариационного исчисления, теории игр, теории многокритериальных задач оптимизации); типичные постановки задач исследования операций и теории принятия решений, в том числе варианты критериев оптимизации; формулировки фундаментальных теорем математического и функционального анализа, связанных с задачами оптимизации;

·  уметь иллюстрировать основные положения теории примерами и контрпримерами; решать типовые задачи исследования операций (задачи на экстремум функций одной и нескольких переменных, функционалов классического вариационного исчисления, задачи теории матричных игр, некоторые задачи дискретной оптимизации);

·  владеть языком, символикой и формальным аппаратом дифференциального исчисления, вариационного исчисления, исследования операций, теории принятия решений;

·  иметь представление о месте задач оптимизации в современной математике и ее приложениях, о специфике разных математических дисциплин, связанных с экстремальными задачами.

Краткое содержание дисциплины

1.  Задачи оптимизации и их математические модели: дискретные и континуальные задачи, допустимое множество и целевая функция, задачи на условный и безусловный глобальный экстремум.

2.  Задачи на наибольшее/наименьшее значение функции нескольких переменных в замкнутой области: решение средствами дифференциального исчисления. Случай задачи линейного программирования.

3.  Некоторые классические задачи вариационного исчисления. Функционалы. Задача об экстремуме функционала.

4.  Теорема Ферма для функционалов. Уравнения Эйлера для экстремалей в задаче вариационного исчисления с закрепленными концами

5.  Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления: задачи с подвижными концами, задачи с угловыми точками.

6.  Динамическое программирование в задачах оптимизации. Принцип оптимальности Беллмана.

7.  Постановка задачи оптимального управления. Принцип оптимальности Понтрягина.

8.  Задача поиска оптимальной стратегии в теории антагонистических игр. Матричные игры: чистые и смешанные стратегии, цена игры, построение оптимальной смешанной стратегии методами линейного программирования. Игры с природой. Понятие о дифференциальных играх.

9.  Игры нескольких лиц. Бескоалиционные игры. Равновесие по Нэшу. Понятие о кооперативных играх.

Общая трудоемкость дисциплины: 300 часа.

Составитель: , кандидат физико-математических наук

3  Избранные вопросы элементарной математики

Цель дисциплины – развитие способностей к восприятию нестандартного материала и ориентации в нем.

Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

- знать основные понятия элементарной математики с точки зрения заложенных в них фундаментальных математических идей;

- свободно владеть учебным материалом элементарной математики;

- знать приемы решения нестандартных задач и уметь их использовать;

- знать особенности учебного материала, предназначенного для классов различной профильной направленности.

Краткое содержание дисциплины

Делимость. Систематические числа. Нестандартные задачи.

Метод математической индукции и его применение к решению задач..

Алгебраические и трансцендентные уравнения, неравенства нестандартного типа и их системы. Задачи с параметрами. Построение графиков сложных функций. Классические неравенства. Средние величины. Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратическое. Приложение неравенств к элементарному нахождению экстремумов. Числовые последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Числа Фибоначчи. Возвратные последовательности.

Применение комбинаторики к вычислению вероятности. Решение нестандартных задач. Различные аксиоматики евклидовой геометрии и их сравнение. Замечательные точки и линии в треугольнике. Точка Торричелли. Окружность девяти точек. Прямые Эйлера и Симпсона. Окружность Аполлония. Выпуклые, невыпуклые и звездчатые многоугольники. Теорема Жордана. Задача о 3-х домиках и 3-х колодцах. Эшера. Экстремальные задачи. Задача Герона, задача Штейнера, изопериметрическая задача и др. Многогранники: различные подходы к определению. Теорема Коши. Виды тетраэдра: ортоцентрический, равногранный, прямоугольный. Прямая Эйлера для ортоцентрического тетраэдра. Первая и вторая сферы Эйлера. Пространственный аналог теоремы Пифагора.

Общая трудоемкость дисциплины: 300 часов.

Составитель: , кандидат педагогических наук, доцент.

4 Дополнительные главы теории дифференциальных уравнений

5 Элементы теории матриц и определителей

Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры, формирование представление о его приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры, о современных проблемах алгебры, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.

Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате освоения дисциплины студент должен:

·  иметь представление о роли матричных методов в математике и смежных

·  знать определение евклидова и унитарного пространства, основные специальные классы матриц, специальные методы вычисления определителей

·  уметь самостоятельно изучать математическую литературу, систематизировать материал, выступать с докладами, приводить матрицы к жордановой форме, вычислять собственные значения линейных операторов различными способами.

Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы/раздела	Содержание
1.	Жордановы нормальные формы матриц	Вывод формулы, выражающей определитель квадратной матрицы, представляющей собой произведение двух прямоугольных матриц, через миноры матриц – множителей (Формула Бине-Коши). Инвариантные подпространства линейного оператора. Блочные матрицы. Понятие о клетке Жордана. Присоединённые векторы. Алгебраические и геометрические кратности собственных значений. Применение спектров матриц к приведению их к диагональной форме.
2.	Евклидовы и унитарные пространства.	Сопряжённое пространство. Полилинейные функции. Билинейные формы, определяющие скалярные произведения. Билинейные формы и их связь с линейными операторами. Эквивалентность билинейных форм. Квадратичные и эрмитовы формы. Приведение симметрических билинейных форм к каноническому виду. Сигнатуры. Закон инерции. Положительно определённые формы. Критерий Сильвестра. Евклидовы и унитарные векторные пространства. Связь между линейными операторами и билинейными формами в евклидовом векторном пространстве. Ортогональные и унитарные операторы.
3.	Многочленные матрицы и матричные многочлены	Понятия матричный многочлен и многочленная матрица. Элементарные преобразования многочленной матрицы. Основные операции над многочленными матрицами (Сложение и умножение матричных многочленов). Основные свойства этих операций. Правое и левое деление матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу. Присоединённая матрица..
4.	Дополнительные главы теории матриц и определителей	Вычисление определителей матриц, зависящих от параметров, вычисление некоторых специальных определителей. Циркулянты. Линейная зависимость линейных форм. Системы линейных уравнений с параметрами и их геометрические приложения.
5.	Избранные вопросы теории линейных операторов и линейной алгебры	Нормальные, симметрические и кососимметрические, эрмитовы и положительные операторы и их матричное представление. Спектр и собственные векторы линейных операторов, их практическое приложение. Инвариантные и корневые подпространства линейных операторов, группы и алгебры линейных операторов. Нормы линейных операторов, сингулярные числа. Матричные многочлены. Системы линейных неравенств и их экономические приложения.

Общая трудоемкость дисциплины: 300.

Составители: , доцент, , ассистент

4  Избранные вопросы теории алгебраических структур и теории чисел

Целью преподавания данной дисциплины является обобщение и углубление знаний по общему курсу алгебры и теории чисел, формирование представления об их приложениях, о возможностях продолжения образования в области алгебры и теории чисел, о современных проблемах математики, а также формирование абстрактно-логического мышления и умения оперировать общематематическими понятиями.

5  Краткое содержание дисциплины

№ п/п	Наименование темы/раздела	Содержание
1.	Группы и факторгруппы. Элементы теории представлений групп. Факториальные и евклидовы кольца. Идеалы	Группы, подгруппы. Нормальные делители групп. Факторгруппы. Изоморфизмы и гомоморфизмы групп. Циклические группы. Задание групп образующими элементами и определяющими соотношениями. Группа Галуа. Понятие кольца, подкольца, идеала кольца, области целостности. Сравнение по идеалу. Фактор-кольцо. Гомоморфизмы колец. Характеристика кольца. Понятие делимости в кольце. Факториальные кольца, примеры, простейшие свойства. Кольца главных идеалов. Евклидовы кольца. Факториальность кольца многочленов от одной и нескольких переменных над факториальным кольцом.
2.	Расширения полей. Конечные поля	Понятие поля, подполя, изоморфизм полей. Расширения полей. Алгебраические и конечные, простые и составные расширения. Алгебраические числа и их приближения. Применения к освобождению от иррациональности в знаменателе дроби. Вопрос о разрешимости уравнений в квадратных радикалах. Применение к задачам на построение с помощью циркуля и линейки. Нормальные расширения полей, поля разложений многочлена. Элементы теории Галуа. Конечные поля их общие свойства. Классификация. Вычислительные аспекты работы с данными полями. Приводимость многочленов над конечными полями. Круговые многочлены. Возможности применения конечных полей в теории кодирования.
3.	Элементы теории чисел. Квадратичные поля	Простые и составные числа. Простые числа специальных видов. Совершенные числа, простые числа Мерсенна и Ферма. Числовые функции. Мультипликативные теоретико-числовые функции. Конечные и бесконечные цепные дроби. Подходящие дроби как наилучшие приближения. Квадратичные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Символ Якоби. Двучленные сравнения по простому модулю. Сравнения высших степеней. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби. Квадратичные расширения. Квадратичные поля.
4.	Алгебры конечного ранга	Комплексные числа и их применение в геометрии. Тело кватернионов. Применение кватернионов. Октавы. Конечномерные алгебры.
5.	Кольцо многочленов от n переменных	Многочлены нескольких переменных. Симметрические многочлены и их приложения. Антисимметрические многочлены. Результант и дискриминант.

Общая трудоемкость дисциплины: 300 часов.