Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 10 )

6.10. Матрица жесткости конструкции МКЭ

После разбивки конструкции на конечные элементы, конечные элементы нумеруются: 1, 2, …, кэ (рис. 2.12, а), где кэ – количество конечных элементов. Порядок нумерации конечных элементов может быть произвольным. Далее нумеруются узлы конструкции: совмещенные узлы конечных элементов и узлы принадлежащие отдельным элементам (внутренние узлы комплекс элементов); 1, 2, …, кУ (кУ – общее число узлов конструкции) (рис. 2.12,б). Нумерация узлов конструкции не привязывается к нумерации элементов и узлов отдельных элементов. Далее нумеруются все неизвестные узловые перемещения: ( КН - общее количество неизвестных узловых перемещений). Неизвестные узловые перемещения нумеруются в последовательности нумерации узлов. Неизвестным в i–ом узле , (- для пространственной задачи) присваиваются последовательные номера , (). В принципе, нумерация узлов и узловых перемещений может быть произвольной, но от порядка нумерации зависит так называемая ширина матрицы системы уравнений (см. ниже). Из нумерации неизвестных исключаются заданные узловые перемещения – нулевые перемещения в закрепленных узлах или заданные перемещения, например, осадки основания.

 

При заданной нумерации неизвестных устанавливается связь локальной нумерации узлов элемента и глобальной нумерации неизвестных . На рис. 2.12,в приведена локальная и глобальная и нумерация узловых перемещений в 8-м элементе:

. (2.10.1)

Потенциальная энергия деформаций конструкции равна сумме потенциальных энергий конечных элементов

. (2.10.2)

При этом потенциальная и полная энергия деформаций становятся функцией узловых перемещений , и на основании принципа Лагранжа [5]

; ,

или

, (2.10.3)

- получаем систему алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений . Матрица коэффициентов получаемой системы алгебраических уравнений называются матрицей жесткости конструкции.

Рассмотрим левую часть системы (2.10.3) с учетом формулы (2.10.2)

.

Энергия деформаций является скаляром. транспонирование скаляра не меняет его значения. Поэтому с учетом симметрии матрицы жесткости элемента , имеем

.

Тогда окончательно получаем

. (1.10.4)

Получим производную вектора узловых перемещений конечного элемента по глобальной неизвестной

. (2.10.5)

Умножая производную вектора узловых перемещений (2.10.5) на матрицу жесткости конечного элемента, имеем

, (2.10.6)

где р – номер единичной компоненты в векторе производной, соответствующей номеру компоненты в векторе узловых перемещений конечного элемента.

В формуле (2.10.5) р = 3. Однако положение компоненты в векторе может быть любым, в том числе отсутствовать. В последнем случае вектор производной узловых перемещений элемента будет нулевым.

Умножая вектор (2.10.6) на вектор узловых перемещений , получаем

.

(2.10.7)

Формула (2.10.12) дает составляющие k-го уравнения от одного конечного элемента. Слагаемые в уравнении должны быть упорядочены в порядке возрастания номеров неизвестных. Чтобы получить полное k-ое уравнение, в него нужно добавить аналогичные слагаемые других конечных элементов, дающих не нулевой вектор производной (210.5). Очевидно, это будут конечные элементы, в вектор узловых перемещений которых входит узловое перемещение , т. е. конечные элементы с общим узлом J, содержащим перемещение .

В k-ое уравнение будут входить только слагаемые с неизвестными, входящими в вектора узловых перемещений конечных элементов с узлом J. Поэтому система уравнений метода конечных уравнений имеет ленточный характер (рис. 2.13,а).

В каждое уравнение будет входить слагаемое с минимальным номером неизвестного и слагаемое с максимальным номером неизвестного . Отклонение от диагонального k-го слагаемого , .

Величину

, , (2.10.8)

называют шириной ленточной системы уравнений.

Вне ширины ленты системы уравнений по обе стороны от диагонали коэффициенты при неизвестных равны нулю. Это не исключает, что внутри ленты в каждом уравнении также имеются коэффициенты равные нулю при некоторых неизвестных.

Для определения ширины матрицы необходимо для всех узлов конструкции, разбитой на конечные элементы, определить отклонение от диагонального слагаемого или и взять среди них наибольшее. Ввиду симметрии системы алгебраических уравнений метода конечных элементов . Для этого в каждом узле определяется минимальный глобальный номер переменного (обычно это перемещение ) и наибольший номер переменного в прилегающих к рассматриваемому узлу конечных элементах.

Ленточная форма системы уравнений позволяет экономить оперативную память при записи таких систем на ЭВМ. Разработаны специальные программы решения ленточных систем уравнений. При этом в виду симметрии системы уравнений в памяти ЭВМ хранится только половина матрицы ленты с диагональными компонентами (рис. 2.13,б)

При больших системах уравнений и наличием большого числа нулевых компонент внутри ленты, записывают только ненулевые компоненты с указанием их положения внутри матрицы коэффициентов. В этом случае для решения систем применяют метод последовательных приближений системы алгебраических уравнений.

Пример 2.10.1. Определить ширину ленты системы уравнений для конструкции представленной на рис 2.12. Составить 12-е уравнение системы для этой конструкции

Пробегая все узлы конструкции нетрудно определить, что для конструкции максимальное отклонение от диагонали будет для 7-го и 8-го узлов. Для 7-го узла . В узлах прилегающих к 7-му узлу элементах . Следовательно . Аналогично для 8-го узла , в прилегающих элементах , . Для всех остальных узлов . Следовательно, для рассматриваемой конструкции при данной нумерации неизвестных ширина ленты системы уравнений .