Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 2 )

- часть поверхности, где заданы перемещения

б). статические граничные условия

;

;

, на . (1.1.5,б)

- часть поверхности, где действуют нагрузки .

Чтобы записать уравнения теории упругости в матричной форме вводятся вектора напряжений, деформаций, перемещений, объемных сил, поверхностных нагрузок, перемещений на поверхности:

; ; ; ; , (1.1.6)

Далее вводятся матрицы коэффициентов [D] - прямого и [D]-1 - обратного законов Гука, матрица дифференцирования [А], матрица направляющих косинусов нормали к поверхности твердого деформируемого тела - [Аs]:

;

; , (1.1.7)

С использованием матричной символики основные уравнения теории упругости записываются в компактной форме:

1.  Уравнения равновесия

. (1.1.8)

2.  Геометрические уравнения

. (1.1.9)

3.  Физические уравнения

Прямой и обратный законы Гука

; . (1.1.10)

4.  Граничные условия:

на ; (1.1.11,а)

. на ; (1.1.11,б)

1.2  Плоская задача теории упругости

Различают два типа плоской задачи теории упругости (ПЗТУ): плоское напряженное состояние (ПНС) и плоская деформация (ПД). В ПНС рассматриваются тонкие пластины, на которые действуют параллельные плоскости пластины, постоянные по толщине нагрузки. В ПД рассматриваются длинные (теоретически бесконечно длинные) призматические (постоянного сечения) тела, на которые действуют перпендикулярные оси постоянные по длине призмы нагрузки.

Уравнения равновесия и геометрические уравнения обоих типов ПЗТУ идентичны. Задачи различаются формой физического закона, связи напряжений и деформаций. Однако если для ПД ввести понятие приведенных модуля упругости и коэффициента Пуассона:

; , , (1.2.1)

то оба типа ПЗТУ описываются одинаковой системой уравнений.

Направляя ось z перпендикулярно плоскости пластины для ПНС и параллельно оси призмы для ПД, получаем общую для обоих типов ПЗТУ систему уравнений:

2.  Уравнения равновесия

;

; (1.2.2)

2. Геометрические уравнения

; ; ; (1.2.3)

3.  Физические уравнения

а) ; ; . (1.2.4,а)

б) , , ; (1.2.4,б)

Граничные условия:

а) на ; (1.2.5,а)

б) ;

; на . (1.2.5,б)

Чтобы записать уравнения ПЗТУ в матричной форме, вводим вектора и матрицы:

; ; ; ; ; ; (1.2.6)

; ; (1.2.7)

; . (1.2.8)

С учетом введенных векторов и матриц (1.2.6)-(1.2.8) уравнения ПЗТУ в матричной форме описываются формулами (1.1.8)-(1.1.11), аналогичными формулам матричной записи уравнений пространственной теории упругости.

Таким образом, формулы основных уравнений пространственной и плоской задач теории упругости в матричной форме совпадают, но различаются по содержанию, виду векторов и матриц.

1.3. Полная энергия деформаций. Принцип Лагранжа

Одной из важнейших характеристик напряженно-деформирован-ного состояния деформируемого твердого тела является энергия деформаций, накапливаемая в теле в результате действия внешних сил. Основные положения МКЭ и ВРМ основаны на вариационных принципах теории упругости и, в частности, на принципе Лагранжа минимума полной энергии деформаций [2, 5].

Внешние силы, действующие на деформируемое твердое тело, деформируя его, совершают работу на соответствующих перемещениях:

. (1.3.1)

Возникающие в твердом деформируем теле внутренние силы - напряжения, сопротивляясь изменению размеров и формы тела, совершают отрицательную работу, которая накапливается в виде потенциальной энергии деформаций. Каждая составляющая тензора напряжений совершает работу на соответствующих им деформациях. Энергия, накапливаемая в единице объема тела, называется удельной потенциальной энергией, которая определяется по формуле

. (1.3.2)

Используя прямой (1.1.3а) и обратный (1.1.3б) законы Гука и связь деформаций с перемещениями (1.1.2), удельную потенциальную энергию можно выразить через напряжения, деформации или перемещения:

; (1.3.3)

; (1.3.4)

. (1.3.5)

Интегрируя удельную потенциальную энергию деформаций по объему тела, получим потенциальную энергию деформируемого твердого тела

. (1.3.6)

Аналогично получаем формулы потенциальной энергии деформаций твердого деформируемого тела в напряжениях, деформациях, перемещениях.

В матричной форме работа внешних сил и потенциальная энергия деформаций получаем в виде:

; (1.3.7)