Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 12 )

а) для узлов в вершинах треугольного элемента

; (1.11.8)

б) для узлов на сторонах элемента

. (1.11.9)

Таким образом, для комплекс элемента 2-го порядка действие собственного веса эквивалентно, действию сосредоточенных сил по направлению собственного веса, равных веса элемента в узлах на серединах сторон элемента. На узлы в вершинах треугольного комплекс элемента 2-го порядка действие собственного веса не распространяется - .

3/. Распределенная нагрузка на стороне треугольного симплекс элемента

Пусть для определенности нагрузка действует на стороне с вершинами 1, 3 треугольника (рис. 2.15). Тогда, на этой стороне треугольника функция формы , а функции формы и равны единице в узлах 1 и 3 соответственно, нулю в противоположных узлах стороны и линейно распределены вдоль этой стороны.

Работу распределенной нагрузки на стороне 12 запишем в виде

. (2.11.10)

Здесь первые две цифры индекса показывают номера узлов основания треугольника,, третья цифра (после запятой) номер узла для которого записана функция формы.

Функции формы (рис 2.15,б) получим в виде:

; . (1.11.11)

где , - проекция стороны 13 на ось х, у.

Вычислим интеграл

. (1.11.12)

Но определяет момент нагрузки относительно точки 3. Тогда, величину

(2.11.13)

можно рассматривать как величину опорной реакции в точке 1 шарнирно опертой балке направленной по стороне 13 конечного элемента и загруженной распределенной нагрузкой (рис. 2.16).

Аналогично, интеграл

(2.11.14)

определяет опорную реакцию в этой балке на опоре 3.

 

Аналогично определяются реакции от действия нагрузки .

В результате распределенная нагрузка, действующая на стороне треугольного симплекс элемента, эквивалентна действию узловых усилий, равных по величине реакциям в шарнирно опертой балке соответствующей стороне конечного элемента.

Направление узловых усилий соответствует направлению нагрузки

; ; . (2.11.15)

Таким образом, значения узловых сил, передаваемых от распределенной на контуре элемента нагрузок, можно определять как из расчета опорных реакций эквивалентной балок, так и непосредственным вычислением интегралов типа (2.11.12), (2.11.14). Запишем эти интегралы, используя для функций формы на сторонах элемента в безразмерные координатах:

; . (2.11.16)

; ; ; .,

a - угол между осью х и стороной треугольника.

Тогда для интегралов (2.11.12), (2.11.14) получим:

;

. (2.11.17)

Аналогично для нагрузки

;

. (2.13.18)

Очевидно, формулы (2.11.17), (2.11.18) несложно записать для нагрузки действующей на других сторонах треугольного элемента, записав длину соответствующей стороны треугольника и номера узлов - индексы при узловых силах , .

В формулах (2.11.17), (2.11.18) не участвует угол наклона стороны треугольника, он формально учитывается длиной стороны треугольника. Это делает возможным их использовать для предельного (горизонтального или вертикального) положения стороны треугольника при действии касательной распределенной нагрузки на стороне треугольника.

Пример. 2.11.1. Рассчитать узловые нагрузки от действия равномерно распределенной нагрузки qх на стороне 12 треугольного симплекс элемента по методу эквивалентной балки и с помощью непосредственного интегрирования. Сравнить результаты.

При равномерно распределенной нагрузке опорные реакции равны . Знак минус показывает, что опорные реакции направлены против направления нагрузки.

С помощью интегрирования получаем

; .

Итак, для равномерно распределенной нагрузки результаты расчета по обоим методикам совпадают.

Пример. 2.11.2. Рассчитать узловые нагрузки от действия линейно распределенной (трапециевидной) нагрузки qу на стороне 12 треугольного симплекс элемента (рис. 2.16) по методу эквивалентной балки и с помощью непосредственного интегрирования. Сравнить результаты.

 

Для удобства расчетов трапециевидную нагрузку разобьем на две нагрузки треугольного вида (рис 2.16,а).

Для эквивалентной балки (рис. 2.16,б) реакции от трапециевидной нагрузки определяются по формулам:

; ;

; .

Для вычисления узловых усилий нагрузку запишем с помощью функций формы

.

Знак минус учитывает, что нагрузка направлена против оси у.

Тогда вычисляя интегралы, получим:

;

.

Результаты расчета узловых усилий по обоим подходам совпадают.

Для треугольного симплекс элемента функции и являются функциями формы одномерного конечного элемента, в которые вырождаются функции формы треугольного симплекс элемента на стороне 13. Аналогично, для треугольного комплекс элемента n-го порядка на сторонах конечного элемента функции формы треугольного комплекс элемента вырождаются в соответствующие функции формы одномерного комплекс элемента n-го порядка.

Функции формы одномерного элемента n-го порядка определяются по формулам аналогичным формулам функций формы треугольного комплекс элемента (2.8.4), (2.8.7), если за L-координаты простого одномерного элемента принять функции формы соответствующих узлов