Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 15 )

Отметим также, что в современных программных комплексах по расчету конструкций методом конечных элементов эта часть работы автоматизирована. Задаются границы конструкции, чертеж которой, выполненный в масштабе, появляется на экране компьютера. Разбивка на конечные элементы (узловые точки) производится с помощью компьютерной мыши. Компьютер рассчитывает координаты узловых точек и формирует массив координат узлов.

В ЭВМ вводятся общие характеристики – модуль упругости и коэффициент Пуассона. Метод конечных элементов применяется и в случае конструкции выполненной из различных материалов с различными механическими характеристиками. В этом случае вводятся механические характеристики по группам конечных элементов и формируется массив механических характеристик по всем конечным элементам.

Далее в ЭВМ вводятся: - количество конечных элементов и - общее количество узлов.

Описываются массивы: глобальные номера узлов конечного элемента; - координаты улов конструкции.

Создается массив (2 соответствует числу узловых перемещений). Массив заполняется единицами.

При нумерации неизвестных (узловых перемещений) из него исключается нулевые узловые перемещения в закрепленных (опорных узлах). Для этого вводится информация о закреплениях узлов: , где номер узла с закреплением (опорой); если имеется опора по направлению перемещения или соответственно, при отсутствии опоры по направлению перемещения. Для ввода информации о закреплении узловых перемещений организуется цикл. После ввода информации о закреплениях вводится строка -1 0 0. Число -1 является признаком конца ввода информации о закреплениях узлов (отрицательного номера узла не существует). Происходит выход из цикла. Такой подход позволяет не подсчитывать в ручную числа закрепленных узлов.

Коэффициенты - вводятся в массив в соответствии с номерами узлов. Таким образом, в этом массиве закрепленным (нулевым) перемещениям присваивается нулевое значение. Теперь производится последовательное суммирование компонент массива и присвоение каждой компоненте массива суммы компонент с низшими номерами, включая компоненту текучего перемещения. Компоненты массива с нулевыми значениями не меняются. Таким образом, значения компонент массива соответствуют глобальному номеру узлового неизвестного (узлового перемещения). Закрепленные узловые перемещения имеют нулевой номер. Номер последнего неизвестного определяет общее количество неизвестных .

Введенная: информация, данные массивов , , позволяют сформировать матрицу жесткости конструкции – систему уравнений МКЭ.

Организуется цикл по конечным элементам конструкции. По номеру конечного элемента из массива определяются глобальные номера узлов конечного элемента. По номерам узлов из массива определяются координаты узлов конечного элемента, на основе которых вычисляется матрица жесткости элемента. Далее, в соответствии с алгоритмом, описанном в разделе 2.10 вычисляются (суммируются от каждого конечного элемента) компоненты матрицы жесткости конструкции. Учитывая симметрию матрицы жесткости конструкции, формируют только правая от диагонали (включая диагональ) часть системы. И учитывая ленточную форму системы уравнений формируют прямоугольную матрицу от диагонали до ширины матрицы.

Ширина матрицы определяется до начала формирования матрицы жесткости. Для определения ширины матрицы организуется цикл по узлам разбитой на конечные элементы конструкции. С помощью массива определяются номера конечных элементов в рассматриваемом узле. Для каждого элемента определяется разность между минимальным номером неизвестного в рассматриваемом узле и наибольшим номером неизвестных в узлах элемента. Ширина матрицы назначается по наибольшему значению этих разностей для всех элементов и узлов.

После формирования матрицы жесткости конструкции вводят информацию о нагрузках и по алгоритму, описанному в разделе 2.11, формируют правую часть системы уравнений.

Для эффективной работы программы разрабатываются стандартные подпрограммы формирования матрицы жесткости конечного элемента, формирования матрицы жесткости конструкции на основе матриц жесткости конечных элементов, ввода информации о нагрузках и формирования правой части системы уравнений, а также подпрограмма решения системы уравнений ленточного типа.

При проектировании конструкций проводится расчет на различные комбинации постоянных и временных нагрузок. Программа решения систем уравнений в этом случае разрабатывается для одновременного решения с несколькими правыми частями от различных комбинаций нагрузок. Такой подход позволяет значительно экономить время счета, так как основной расход времени при решении линейных задач теории упругости уходит на формировании матрицы жесткости и обращение матрицы.

Другой подход состоит в том, что обращенная матрица системы уравнений и массивы хранится на носителях информации и при повторном расчете формируется только правая часть системы уравнений от задаваемой нагрузки. Используя обращенную матрицу, проводят новый расчет.

Из решения системы уравнений МКЭ определяют узловые перемещения. Используя значения перемещений в узлах конечного элемента и функции формы можно определить перемещения в любой точке конечного элемента

(2.16.1)

и значения деформаций и напряжений в конечных элементах:

; . (2.16.2)

При расчете конструкции, разбитой на треугольные симплекс элементы, компоненты матрицы являются константами и значения напряжений, вычисленные по формулам (2.16.2) постоянны в пределах каждого элемента. Можно вычислить среденевесовые значения узловых напряжений

, (2.16.3)

где - номера элемента с i-ым узлом. Суммы в числителе и знаменателе проводятся по всем элементам с i-ым узлом.

После вычисления средневесовых значений напряжений в узлах элемента, можно вычислить с помощью функций формы напряжения в точках конечного элемента

. (2.16.4)

Здесь вектор средневесовых значений напряжений в узлах конечного элемента.

Завершающим этапом любой программы является обработка и вывод результатов расчета на печать или размещение их на носителях информации для дальнейшего использования.

Описанный выше алгоритм расчета напряженно-дефор-мированного состояния (НДС) рассмотрен для конструкции с треугольными симплекс элементами произвольного размера и формы. Если используются треугольные комплекс элементы, организация программного обеспечения будет аналогичной. В тоже время, в массивах и достаточно ввести информацию о номерах узлов и координат в вершинах треугольного конечного элемента. Номера узлов и их координаты на сторонах и внутри элементов вычисляются автоматически.

Для конструкций на прямоугольном плане или на прямоугольном плане с прямоугольными вырезами и отверстиями удобно использовать прямоугольные конечные элементы. Разбивка проводится линиями параллельными сторонам (осям координат) прямоугольного плана с равномерным или переменным шагом. Нумерация узлов проводится последовательно по линиям, параллельных одной из сторон плана. Меньшая ширина матрицы получается, если нумерация проводится по линиям, параллельным стороне плана с меньшим числом шагов. Вводится информация по группам шагов с равномерным шагом в каждом из направлений плана конструкции. Это значительно упрощает подготовку и ввод информации о конечных элементах. При наличии вырезов и отверстий вводится информация - в пределах каких шагов по каждому из направлений находится отверстие.