Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 19 )

.

Полученное значение изгибающего момента в середине пролета шарнирно опертой балки, незначительно отличается от точного решения сопротивления материалов . Относительная невязка составляет %. Однако во внутренних точках конечного элемента, линейное распределение момента изгибающего момента в пределах большого (половина пролета балки) конечного элемента будет давать значительные погрешности. Так в середине конечного элемента (, ) получим:

а) по методом конечного элемента - ;

б) точное решение - .

Точное и приближенное значения изгибающих моментов в середине конечного элемента различаются на 22 %.

Для поперечной силы получено ее среднее значение в пределах конечного элемента.

Для получения более точных значений изгибающих моментов и поперечных сил в пределах конечного элемента при нагружении распределенной нагрузкой, необходимо разбивать баку на более мелкие конечные элементы.

Получим решение при разбивке балки на 4 элемента - .

Используя условие симметрии, рассматриваем 2 конечных элемента. Учитывая граничные условия и условие симметрии, имеем:

; .

Здесь первый индекс указывает на номер конечного элемента, второй индекс номер узла элемента.

Глобальные неизвестные соответствуют узловым перемещениям конечных элементов

; ; ; .

Используя матрицу конечного элемента (3.2.8) и формулы узловых усилий от нагрузки (3.3.4), получаем систему уравнений:

.

Решая систему, определяем узловые перемещения

; ;

; .

Как и при разбивке на 2 конечных элемента для угла поворота в начале шарнирно опертой балке и для прогиба в середине пролета получены точные значения.

Для изгибающего момента в ¼ пролета получим:

а) изгибающий момент на правом конце 1-го конечного элемента

.

а) изгибающий момент на левом конце 1-го конечного элемента

.

Изгибающий момент на правом конце первого элемента и на левом конце 2-го элемента совпадают. От точного значения изгибающий момент в четверти пролета отличается на 5 %.

Изгибающий момент в середине пролета (на правом конце 2-го элемента) , что совпадает с точным значением.

Вычисляем поперечные силы в 1-ом и 2-ом конечных элементах:

;

.

Полученные значения поперечных сил равны средним значениям поперечных сил в пределах данного участка балки.

3.4. Изгиб тонких пластин

Введение гипотез Кирхгофа позволяет описать напряженно деформированное состояние тонких пластин через функцию прогибов срединной поверхности. При действии поперечной нагрузки изогнутая срединная поверхность описывается изгибными кривизнами и и кривизной кручения , которые при малых прогибах определяются формулами:

; ; . (3.4.1)

Напряжения в сечениях пластинки приводятся к внутренним усилиям на единицу длины сечения пластинки (рис. 3.4) - изгибающим моментам Мх и Му , крутящему моменту Мх и поперечным силам Qx и Qу.. Внутренние силы связаны с деформациями законом Гука:

;

;

; . (3.4.2)

Здесь - изгибная жесткость пластинки; - толщина пластинки.

 

Потенциальная энергия деформаций изгиба пластин определяется по формуле

. (3.4.3)

Запишем потенциальную энергию деформаций a матричной форме

. (3.3.4)

Здесь введены вектора внутренних усилий , изгибных деформаций и матрица закона Гука :

; ; , (3.4.5)

где ; ; ; ; ; .

3.5. Функции формы изгибаемого

прямоугольного конечного элемента

Рассмотрим пластину, разбитую на прямоугольные конечные элементы с узлами в вершинах прямоугольника. Как и в случае изгибаемого стержня, при изгибе пластин необходимо обеспечить на границах элементов сопряжение по прогибам и углам поворота. Поэтому за узловые неизвестные в прямоугольном конечном элементе при изгибе принимают прогибы в узлах и углы поворота относительно осей и (рис. 3.4).

Таким образом, в каждом узле конечного элемента при изгибе имеется 3 узловых перемещения, а всего для прямоугольного изгибаемого конечного элемента с узлами в вершинах 12 узловых перемещений. Для обеспечения независимости узловых перемещений функцию прогиба для прямоугольного изгибаемого элемента описывают полиномом от двух аргументов с 12-ю неизвестными коэффициентами.

Прежде чем ввести функцию перемещений, введем безразмерные координаты

; ; , (3.5.1)

где - размеры прямоугольного конечного элемента по осям х и у соответственно.

Тогда функцию прогибов в безразмерных координатах принимаем в виде

. (3.5.2)

Углы поворота соответственно определяются полиномами;