Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 8 )

Площадь треугольника i-го треугольника

, (2.7.2)

где - длина основания конечного элемента против i-ой вершины.

Площадь конечного треугольного элемента . Тогда

. (2.7.3)

Следовательно, L-координате может быть дано эквивалентное данному выше определение:

L координата точки внутри треугольного элемента определяется отношением площади треугольника с основанием одной из сторон конечного элемента и вершиной в заданной точке конечного элемента к площади конечного элемента.

Из этого определения следует, что сумм 3-х L-координат треугольного элемента равна единице

. (2.7.4)

Отметим также следующие свойства L - координат:

1)  координата на линии параллельной основанию конечного треугольного элемента против i-ой вершины (рис. 2.8);

2)  задание двух L-координат (L1, L2), (L2, L3), (L1, L3) определяет точку, находящуюся на пересечении двух линий, параллельных двум соответствующим основаниям треугольного конечного элемента (рис. 2.8);

3)  L-координата изменяется по линейному закону при перемещении точки В из i-той вершины конечного элемента к основанию треугольника противоположному i-той вершине;

4)  значение координаты равно единице в i-ой вершине и равно нулю на противоположной стороне конечного элемента.

На основании перечисленных свойств следует, что L-коор-дината определяет линейную функцию в пределах конечного элемента.

Все перечисленные свойства совпадают со свойствами функции формы треугольного симплекс элемента, и, следовательно, очевидно соответствие координат х, у, находящихся на линии параллельной основанию треугольного элемента, и координаты

. (2.7.5)

Функции формы и L-координаты отражают закон распределения исследуемых функций (перемещений) по закону плоскости.

2.8. Функции формы треугольного конечного

комплекс элемента n-го порядка

L-координаты не привязаны к конкретной системе декартовых координат, что дает им преимущество при проведении различных преобразований. В частности, L-координаты используются при построении функций формы треугольных комплекс элементов и вычислении интегралов при построении их матриц жесткости.

Треугольные комплекс элементы получают добавлением узлов с равномерным шагом на сторонах конечного элемента и внутренних узлов на пересечений линий, параллельных сторонам треугольного элемента и соединяющих соответствующие узлы на смежных сторонах треугольника (рис. 2.8). Порядок комплекс элемента определяется числом отрезков между узлами на стороне треугольного элемента (число узлов на стороне треугольного элемента на единицу больше порядка элемента).

Нумерация узлов треугольного комплекс элемента. Узлам в вершинах даются номера – 1, 2, 3 (обход против часовой стрелки). Это связано с использованием L-координаты, нумерация которых соответствует номерам вершин треугольника. Затем нумеруют узлы на сторонах треугольника и далее внутренние узлы конечного элемента.

Как было показано выше, для треугольного элемента 1-го порядка (симплекс элемента) функции формы определяются L-координатами

. (2.8.1)

Функции формы комплекс элемента n-го порядка определяются последовательно с использованием L-координат.

Пусть определены функции формы комплекс элемента n-1-го порядка

. (2.8.2)

Здесь первый нижний индекс (n-1) определяет порядок комплекс элемента, второй номер функции формы или L-координаты.

Рассмотрим два подобных комплекс элемента (n-1)-го и n-го порядка с равным шагом между узлами (рис. 2.9).

На рис. 2.9. - комплекс элемент n-го порядка, - комплекс элемент (n-1)-го порядка.

Определим функцию формы i-го узла комплекс элемента n-го порядка, через функции формы (n-1)-го порядка по формуле

. (2.8.3)

Функция формы равна единице в i-том узле и нулю в остальных узлах элемента . Функция расширяет значения функции на треугольный элемент , обеспечивая нулевые значения функции формы в узлах нижнего основания (против 1-ой вершины) треугольного элемента . В тоже время, функция понижает значение ординаты в i-том узле в отношении m/n, где m – число шагов от основания против 1-го узла треугольного элемента до слоя i-ого узла. Чтобы обеспечить единичное значение функции в i-том узле, принимаем , получая

. (2.8.4)

В формуле (2.8.4) функция формы выражается через (2.8.2) - L-координаты конечного элемента (n-1)-го порядка. Получим связь L-координат подобных конечных элементов (n-1)-го и n-го порядка.

Для произвольной точки В имеем, в соответствии с формулой (2.7.1), и учитывая подобие и

,

где , высоты из вершин 2 и 2* на противоположные основания треугольных элементов соответственно; , длины оснований треугольных элементов 13* и 13.

Тогда

. (2.8.5)

Аналогично получаем

. (2.8.6)

Чтобы получить связь и , воспользуемся формулой (2.7.4) . Тогда, с учетом формул (2.8.5), (2.8.6), имеем

;

. (2.8.7)

Формулы (2.8.4) – (2.8.7) дают рекуррентные соотношения для последовательного построения функций формы треугольного комплекс элемента n-го порядка.

Заметим, что нумерация узлов элементов (n-1)-го и n-го порядка, кроме узлов в вершинах, обычно не совпадают, и за соответствием узлов нужно следить по схемам элементов.

Формула (2.8.4) дает возможность вычислять функции формы треугольного комплекс элемента n-го порядка при известных функциях формы элемента (n-1)-го порядка во всех узлах кроме узлов на основании 23 треугольного элемента, так как для этих узлов и . Однако, если функция формы определена, то функции формы и получают круговой заменой индексов 1, 2, 3. Аналогично получают функции формы для узлов на основании 2-3 по формулам функций формы на основании 1-2.