Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 4 )

Свойства (2.1.2) можно записать в общем виде:

; (2.1.3)

где - символ Кронекера.

Аппроксимирующие Функции называются функциями формы, так как, в конечном счете, их вид зависит от типа и формы конечного элемента. Обычно в качестве аппроксимирующих функций используются полиномы одного (стержни), двух (пластины и оболочки) и трех (массивные тела) аргументов.

Равенство перемещений в общих узлах конечных элементов является необходимым, но не достаточным условием, обеспечивающим идентичность напряженно-деформированного состояния конструкции, разбитой на конечные элементы и реальной конструкции. Необходимо обеспечить дополнительно неразрывность деформаций (равенство перемещений) на соприкасающихся гранях конечных элементов. Поэтому функции формы должны также обеспечивать неразрывность перемещений на общих гранях соседних элементов, что является вторым условием, которому должны отвечать функции формы.

Кроме того функции формы отвечают следующему условию

. (2.1.4)

Формула (2.14) отражает условие полноты системы функций формы и факт, что полином n-2- порядка (поверхность, описываемая полиномом), проведенный через n равноотстоящих от координатной плоскости точек , является плоскостью.

В случае пространственной задачи теории упругости, функции перемещений и функции формы являются функциями трех переменных х, у; z, и система перемещений дополняется функцией перемещения и узловыми перемещения .

2.2. Функции формы простого треугольного элемента

Рассмотрим произвольный треугольный конечный элемент с тремя узлами, расположенными в вершинах треугольника – симплекс элемент. Пронумеруем узлы конечного элемента 1, 2, 3, обходя вершины треугольника против часовой стрелки (рис. 2.4). Координаты узлов в выбранной прямоугольной системе координат - , i = 1, 2, 3.

Для простого треугольного элемента принимаем линейную аппроксимацию функций перемещений:

. (2.2.1)

Уравнение (2.2.1) является уравнением плоскости проходящей через точки узловых перемещений:

; ; .

Подставляя координаты узловых точек в уравнение (2.2.1), получаем систему уравнений:

;

; (2.2.2)

.

Неизвестными в системе уравнений (2.2.2) являются коэффициенты . Решая систему уравнений методом Крамара, получаем

;

;

; (2.2.3)

; ; . (2.2.4)

Подставляя значения коэффициентов в формулу (2.2.1) и группируя слагаемые при , получим

. (2.2.5)

Очевидно, множители при узловых перемещениях являются функциями формы. Для i-го узла (i = 1, 2, 3) имеем

, (2.2.6)

где ; ; ;

- последовательная нумерация узлов треугольного элемента при обходе их против часовой стрелки; - проекции стороны треугольного конечного элемента, противоположной i–ой вершине треугольника, на оси х, у соответственно. Знак проекции стороны треугольника определяется направлением стороны как вектора при обходе вершин треугольника против часовой стрелки.

Подставляя в формулу (2.2.6) координаты вершин треугольника ; ; , нетрудно убедится, что свойства функций формы (2.1.3) выполняются. Свойство (2.2.4) очевидно, так как все точки плоскости, проведенной через три равноотстоящие от координатной плоскости точки (ui = 1), находятся от координатной плоскости на том же расстоянии. Непрерывность перемещений на гранях треугольного элемента обеспечивается линейной зависимостью функций формы простого треугольного элемента.

Функция формы i–го узла конечного треугольного симплекс элемента представляет собой плоскость, проходящую через две другие вершины конечного элемента и отстоящую на расстояние равное единице от i–ой вершины (рис. 2.4)

Представим стороны конечного элемента, выходящие из 1–ой вершины, в виде векторов и получим их векторное произведение:

; .

.

Здесь - орты прямоугольной системы координат.

Модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на их сторонах, или удвоенной площади треугольника:

, (2.2.7)

где D - площадь треугольного конечного элемента.

Из сравнения формулы (2.2.7) с формулой (2.2.3) определителя d, получаем , т. е. величина определителя системы (2.2.2) равна удвоенной площади треугольного конечного элемента.

Формулу (2.2.7) можно записать в общем виде, используя стороны треугольника, примыкающие к любой (i–ой) вершине треугольного конечного элемента:

. (2.2.8)

2.3. Функция формы простого прямоугольного элемента

Рассмотрим прямоугольный симплекс элемент размером (рис. 2.6). Для рассмотрения прямоугольного конечного элемента будем использовать местную систему координат с началом в нижнем левом углу. Для вывода функций формы используем к безразмерную системе координат:

; ; . (2.3.1)

При проведении дифференцирования и интегрирования используются соотношения:

; ;

;