Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 18 )

Вычислим матрицу жесткости

;

;

. (3.2.7)

. (3.2.8)

Матрицу жесткости конечного элемента можно получить, и использую функции формы (3.1.9) и матрицу функций формы (3.1.12)

. (3.2.9)

. (3.2.10)

где ; .

; ;

; . (3.2.11)

Тогда

. (3.2.12)

. (3.2.13)

Нетрудно убедится, что в результате интегрирования компоненты матрицы r в формуле (3.2.13) будет аналогичны компонентам матрицы формулы (3.2.8).

3.3. Матрица жесткости плоского изгиба стержня.

Работе внешних сил. Внутренние усилия

Матрица жесткости стержня, разбитого на конечные элементы, строится аналогично матрице жесткости плоской и пространственной задач теории упругости. Узловые неизвестные – прогибы и углы поворота последовательно нумеруются слева направо. Коэффициенты матриц жесткости конечных элементов разносятся по уравнениям в соответствии с глобальной нумерацией узловых неизвестных. Так как каждый конечный элемент включает четыре узловых перемещения, то для стержня при плоском поперечном изгибе ширина матрица равна трем. Каждое уравнение включает узловые перемещения двух соседних элементов. При расчете многопролетных балок из глобальных неизвестных исключаются прогибы на опорах.

Для стержня, работающего в условиях плоского изгиба, рассматриваются два типа нагрузок распределенная вдоль оси конечного элемента поперечная нагрузка и узловые сосредоточенные силы. Обычно, точку приложения сосредоточенной силы принимают за границу элемента.

К узловым силам относятся сосредоточенные поперечные силы и сосредоточенные моменты .

Очевидно, работа сосредоточенных узловых сил определяется формулами

; . (3.3.1)

Здесь i - номер узла, где действует сосредоточенная сила или сосредоточенный момент, - номер глобального узлового перемещения (прогиба) в i–ом узле, - номер глобального неизвестного – угла поворота .

Тогда

; . (3.3.2)

Положительные направления узловых усилий совпадают с положительными направлениями перемещения (направление оси у) и угла поворота соответственно. Положительное направление угла поворота соответствует направлению поворота оси х стержня к оси у. При направлении осей в соответствии с рис. 3.1 положительному углу поворота соответствует поворот против часовой стрелки.

Работа распределенной нагрузки определяется формулой

.

, (3.3.3)

где .

Устанавливая соответствие локальной и глобальной нумераций узловых переменных в правую часть системы канонических уравнений (в уравнение с номером глобальной неизвестной) добавляется значение компоненты

При равномерно распределенной нагрузке q с учетом функций формы (3.1.11), получаем:

;

; (3.3.4)

Для линейно распределенной нагрузки ,

: ; .

Очевидно, определяется по формулам (3.3.4) при замене на .

Получим составляющие узловых усилий от нагрузки :

;

;

;

. (3.3.5)

Решая систему уравнений метода конечных элементов, определяем узловые перемещения – прогибы и углы поворота. Используя функции формы (3.1.9) определяем по формуле (3.1.10) прогибы в произвольной точке каждого конечного элемента.

Для определения внутренних усилий в сечениях конечных элементов используются формулы сопротивления материалов. С учетом формулы (3.2.10), получаем

;

; (3.3.6)

.

Согласно полученным формулам изгибающие моменты изменяются линейно, а поперечные силы постоянны в пределах конечного элемента. Заметим, что в сопротивлении материалов такое решение отвечает действию сосредоточенных сил, к которым и приводится распределенная нагрузка в методе конечных элементов.

Пример 3.3.1. Для однопролетной шарнирно опертой балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис. 3.2), определить методом конечных элементов прогиб и изгибающий момент в середине пролета и угол поворота на опоре.

а/. Разобьем балку на 2 конечных элемента -

 

В расчете будем использовать условия симметрии, рассматривая левую часть балки. Тогда в расчете учитываем один конечный элемент (рис 3.2,б). Из граничных условий и условия симметрии имеем ; , и, следовательно, получаем систему уравнений с двумя неизвестными - ; .

Используя матрицу жесткости конечного элемента (3.28) и узловые силы от равномерно распределенной нагрузки (3.3.4), получаем систему уравнений

.

Знак минус в правой части учитывает направление действия нагрузки (против оси у).

Решая систему уравнений, получаем

; .

Полученные значения - угла на опоре и - прогиба в середине пролета балки, совпадают с точным решением сопротивления материалов однопролетной шарнирно опертой баки при действии равномерно распределенной нагрузки.

Определим изгибающий момент в середине пролета и значение поперечной силы по формулам (3.3.6)

; ; ;

;