Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 20 )

;

. (3.5.3)

Для вывода функций формы и записи соотношений в матричной форме введем вектор-функцию перемещений (прогибов и углов поворота) W, вектор узловых перемещений , вектор коэффициентов а , матрицу степенных функций W, матрицу функций формы {N} :

;

;

;

;

. . (3.5.4)

; ;

; . (3.5.5)

Здесь индекс i – номер узла четырехугольного элемента

Теперь вектор функций перемещений запишем в виде

. (3.5.6)

По определению имеем

, (3.5.7) 0

.

Тогда

; (3.5.8)

; (3.5.9)

Формула (3.5.1) позволяет получать численные значения функций формы на ЭВМ, используя стандартную подпрограмму перемножения матриц.

Функции формы изгибаемого конечного прямоугольного элемента можно получить в явном виде перемножая полиномы Эрмита (3.1..9) для двух направлений (аргументов x и h).:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

(3.5.10)

Функция прогиба вычисляется как сумма произведений функций формы на :соответствующие узловые перемещения

, (3.5.11)

где .

Функции формы для определения углов поворота qх и qу определяются дифференцированием функций формы прогиба по х и у соответственно:

; . (3.5.12)

Например:

; ; ;

; ; .

3.6. Матрица жесткости изгибаемого

прямоугольного конечного элемента

В соответствии с формулами кривизн изогнутой пластинки (3.4.5) введем вектор дифференцирования

, (3.6.1)

где .

Тогда, с учетом формулы (3.5.11), потенциальную энергию деформаций конечного элемента получим в виде

. (3.6.2)

C учетом формул (3.5.5) имеем

, (3.6.3)

где

; (3.6.4)

; ; . (3.6.5)

С учетом формулы (3.6.4) получим матрицу жесткости четырех угольного изгибаемого конечного элемента

, (3.6.6)

, (3.6.7)

где

.

3.7. Работа внешних сил. Внутренние усилия

При изгибе пластин учитываются нагрузки нормальные к срединной плоскости пластики. В качестве нагрузок рассмотрим узловые сосредоточенные силы, равномерно и линейно распределенные нагрузки по линиям, параллельным граням прямоугольных конечных элементов, равномерно и линейно распределенные нагрузки по площади конечных элементов.

Работа узловых сосредоточенных сил очевидно равна значению силы на величину прогиба соответствующего узла

, (3.7.1)

где k - номер прогиба узла в глобальной нумерации неизвестных.

Тогда, очевидно, правая часть k–го уравнения системы уравнений МКЭ равна значению сосредоточенной силы в узле. Здесь к - номер глобального переменного в узле по направлению действия узловой нагрузки.

В случае линейно распределенной по площади конечного элемента нагрузки имеем

, (3.7.2)

где - интенсивность распределенной нагрузке в 1-м узле (локальная нумерация) конечного элемента» - градиенты изменения линейно распределенной нагрузки по оси х и у соответственно.

Работа распределенной нагрузки в пределах конечного элемента определяется формулой

. (3.7.3)

где ; ; - площадь конечного элемента.

Очевидно, реактивные силы являются вертикальными узловыми усилиям, - моментными усилиями относительно осей х и у соответственно.

. (3.7.4)

Здесь - реактивное усилие в i-ом узле конечного элемента о нагрузки: - вертикальная реакция; - узловые моменты относительно осей х и у соответственно.

Используя формулы функций формы (3.5.10) и интегральные формулы функций Эрмита (3.1.11), получим:

;