Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 1 )

Основы

Метода конечных Элементов и

Вариационно-разностного метода

Москва

Издательство Российского университета дружбы народов

2008

ББК 22.251.6 Утверждено

И 20 РИС Ученого совета

Российского университета дружбы народов

Р е ц е н з е н т ы:

профессор, доктор технических наук ,

профессор, доктор технических наук

И 20 Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода: Учеб. пособие - М.: Изд-во РУДН, 2008. - 168 с.: ил.

ISBN

В пособии даются понятия функций формы и матрицы жесткости конечного, матрицы жесткости конструкции. Излагаются методы решения плоской и объемной задач теории упругости методом конечных элементов. Вводятся матричные формы записи основных соотношений теории упругости и функционалов потенциальной и полной энергии деформаций. На основе принципа Лагранжа минимума полной энергии деформаций получены основные уравнения метода конечных элементов. Во второй части пособия излагается вариационно-разностный метод расчета пластин и пологих оболочек. Даются сравнительные результаты расчета пластин методом конечных элементов и вариационно-разностным методом. В приложении приведена программа расчета изгиба прямоугольных пластин вариационно-разностным методом, написанная на алгоритмическом языке «Фортран.». Дается пример расчета с использованием программы

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Строительство». Пособие может быть рекомендовано студентам и аспирантам различных технических специальностей.

ISBN. ББК 22.251.6

© Издательство Российского университета дружбы народов, 2008 г.

© , 2008 г.

Введение

В инженерной практике встречаются самые различные конструкции: стержневые, пластинчатые, массивные. Инженерные методы расчета разработаны в основном для стержневых конструкций. Для пластин, оболочек, массивов используются аналитические и численные методы теории упругости и пластичности. Однако аналитические методы применимы лишь для узкого класса задач линейной теории упругости. В основном это пластинки простой конфигурации (прямоугольные, круглые, кольцевые), канонические оболочки (цилиндрические, конические, вращения, пологие) и некоторые задачи расчета массивных тел.

Для расчета сложных конструкций используются различные численно-аналитические и численные методы расчета. Численно-аналитические методы представляют решение в виде рядов: метод коллокаций, метод Ритца-Тимошенко, Метод Бубнова-Галеркина, метод Канторовича-Власова. Численные методы: метод сеток, метод конечного элемента (МКЭ), вариационно-разностный метод (ВРМ) и др..

Метод сеток [3] долгое время был основным методом расчета конструкций сложной формы, конструкций со сложными граничными условиями и различными видами нагружения. Недостатками метода сеток являются трудоемкость реализации метода для тел сложной конфигурации, сложность реализации статический граничных условий, в том числе для свободной или нагруженной границы твердого тела.

Во второй половине 20-го века начинает развиваться метод конечного элемента [1, 3, 7]. Суть метода состоит в разбивке твердого деформируемого тела на элементы конечных размеров. В пределах каждого элемента назначаются узловые точки. Перемещения в пределах конечных элементов аппроксимируются некоторыми функциями, выраженными через значения перемещений узловых точек. На общих границах конечных элементов узловые точки и их перемещения совпадают. На основе аппроксимирующих функций записывается полная энергия деформаций конечного элемента. Сумма энергий деформаций конечных элементов составляет полную энергию деформаций конструкции. Минимизируя полную энергию деформаций, получают систему алгебраических уравнений с неизвестными узловыми перемещениями. Решая систему алгебраических уравнений, определяют значения узловых перемещений, и на основе аппроксимирующих функций вычисляют перемещения, деформации и напряжения в пределах каждого конечного элемента.

В вариационно-разностном методе, как и в методе сеток, используется разностная сетка с неизвестными перемещениями в узлах сетки. Однако далее используются не уравнения равновесия как в методе сеток, а функционал полной энергии деформаций. Дифференциальные соотношения в выражении полной энергии деформаций заменяются разностными отношениями. Минимизация полной энергии деформаций приводит к системе алгебраических уравнений относительно узловых перемещений. Для вычисления деформаций и напряжений опять используются разностные производные.

Основанные на принципе Лагранжа минимума полной энергии деформаций МКЭ и ВРМ позволяют удовлетворять только кинематическим граничным условиям. Статические граничные условия удовлетворяются при минимизации полной энергии деформаций. Это позволяет значительно упростить реализацию вариационно-разностного метода по сравнению с методом сеток. При реализации метода сеток приходится во многих задачах использовать производные четвертого и более высокого порядка, для разностной аппроксимации которых приходится вводить два-три ряда законтурных точек. В функционале энергии деформаций производные не превышают второго порядка

Метод конечных элементов позволяет реализовать расчет сложных конструкций состоящих из комбинаций стержневых, пластинчатых, оболочечных и массивных элементов. Благодаря разнообразию типов конечных элементов, возможности менять размеры и формы элементов в пределах конструкции, этот метод удобен для расчета конструкций с зонами концентрации напряжений, конструкций сложной формы и при наличии отверстий. Однако, при расчете тонкостенных пространственных конструкций сложной геометрии, с быстро меняющимися геометрическими характеристиками, МКЭ теряет свои преимущества перед ВРМ, так как плохо учитывает внутреннюю и внешнюю геометрию пространственных конструкций. В вариационно-разностном методе учитываются геометрические характеристики срединной поверхности оболочки, что позволяет получать более точную картину напряженно-деформированного состояния тонкостенных конструкций сложной геометрии.

I. Матричные формы уравнений

теории упругости

Запись основных соотношений МКЭ и ВРМ и проведение необходимых преобразований удобно выполнять в матричной форме. Запись этих соотношений в скалярной форме была бы чрезвычайно громоздкой и мало наглядной. Матричная форма соотношений МКЭ и ВРМ является и более удобной формой реализации алгоритмов расчета на ЭВМ. Ниже приведены уравнения теории упругости и запись их в матричной форме.

1.1. Пространственная задача теории упругости

1.  Уравнения равновесия (Навье-Коши)

;

;

. (1.1.1)

2. Геометрические уравнения (Коши)

; ; ;

; ; . (1.1.2)

3. Физические уравнения

а/. Прямой закон Гука

;

;

;

; ; . (1.1,3,а)

б/. Обратный закон Гука

;

;

,

; ; . (1.1.3,б)

Здесь - параметры Ляме; Е, n - модуль упругости и коэффициент Пуассона; - модуль сдвига.

Параметры Ляме связаны с механическими характеристиками формулами:

; ;

; . (1.1.4)

При решении конкретной задачи система уравнений (1.1.1)-(1.1.3) дополняется системой граничных условий:

а) кинематических

; ; на ; (1.1.5,а)