Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 11 )

Рассмотрим систему конечных элементов примыкающих к 7-му узлу, в котором находится глобальное переменное (узловое перемещение) (рис. 2.14,а).

Последовательно рассматриваем конечные элементы этой группы. Рассмотрим 6-ой конечный элемент Принимаем локальную нумерацию узлов конечного элемента. Именно для такой нумерации составляется матрица жесткости элемента.

 

8

Устанавливаем соответствие локальных и глобальных узловых 6-го элемента (рис. 2.14,б):

.

Локальному перемещению соответствует нулевое перемещение, так как по направлению этого перемещения поставлена опора.

Неизвестное , для которого составляется уравнение (производится дифференцирование потенциальной энергии деформаций) соответствует 5-й компоненте вектора узловых перемещений 6-го элемента. Следовательно р = 5 (см. формулу (2.10.6). Тогда получаем слагаемые в 12-е уравнение от 6-го конечного элемента

.

Проводим аналогичные действия для элементов 5, 7, 11, 12. 13.

Назначаем начальный узел (локальный номер 1) определяя ему соответствующий глобальный номер узла, далее против часовой стрелки. Данные размещаем в табл. 2.10.1

Таблица 1.10.1

№ эл-та	Глобальный номер 1-го узла	Вектор узловых неизвестных	№ компоненты , ( р )
5	3		3
6	3		5
7	4		5
11	10		3
12	7		1
13	7		1

Перемножая р-ю строку матрицы жесткости элемента с вектором узловых перемещений и суммируя и группируя коэффициенты при глобальных неизвестных, получаем левую часть 12-го уравнения системы

.

Проводя аналогичные действия со всеми глобальными неизвестными, получают полную систему уравнений метода конечных элементов или матрицу жесткости конструкции.

2.11. Работа внешних сил

В предыдущих разделах подробно рассмотрен вопрос о формировании левой части системы уравнений метода конечных элементов, получаемых на основе матриц жесткости конечных элементов конструкции. Правя часть системы уравнений определяется производной работы внешних сил по глобальным неизвестным (узловым перемещения) (2.10.3). Работа внешних сил (1.3.11) определяется работой объемных и поверхностных сил. К этим составляющим можно добавить работу сосредоточенных сил на перемещениях в точках приложения этих сил по направлению действия этих сил, Тогда получаем для плоской задачи теории упругости:

. (2.11.1)

Здесь - проекции сосредоточенной силы на оси х, у; - проекции перемещения точки приложения силы .

Запишем выражение работы внешних сил в векторной форме

, (2.11.2)

где , , - векторы объемных, поверхностных и сосредоточенных сил.

При наличии сосредоточенных сил, обычно, разбивки на конечные элементы совмещают точки приложения сосредоточенных сил с узлами конечных элементов. Для первых двух слагаемых в формуле (2.11.2) выразим вектора перемещений через узловые перемещения и матрицы функций формы конечных элементов:

; (2.11.3)

. (2.11.4)

В формуле (2.11.4) - значения функции формы конечного элемента на контуре конечного элемента, где приложена поверхностная (контурная) нагрузка.

Окончательно формулу работы внешних сил получаем в виде

. (2.11.5)

Тогда для производной по глобальной неизвестной имеем

. (2.11.6)

Очевидно, как и в случае потенциальной энергии деформаций, в формуле (2.11.6) для первых двух слагаемых остается сумма по конечным элементам, включающих узел с глобальным неизвестным . В третьем слагаемом остается только узел i с глобальным неизвестным .

Рассмотрим каждый тип нагрузки.

1/. Узловые сосредоточенные силы

Так как

при , или при , или , если , то в случае сосредоточенной силы правая часть к-го уравнения равна значению сосредоточенной силы , действующей в узле с глобальным узловым перемещением по направлению (или против) этого перемещения.

2/. Объемные силы.

В статических задачах объемными силами является собственный вес конструкции: , . Учитывая, что объемные силы являются константами, получаем для простого треугольного конечного элемента, с учетом формулы (2.10.3)

;

, (1.10.7)

где - проекции веса элемента на оси х, у .

Таким образом, для треугольного симплекс элемента действие собственного веса эквивалентно, действию в каждом узле элемента сосредоточенных сил, равных веса элемента. В правой части к-го уравнения суммируются по веса элементов примыкающих к узлу с глобальным узловым перемещением , если действие собственного веса (проекции собственного веса) совпадает с направлением перемещения.

Для треугольного комплекс элемента 2-го порядка с учетом функций формы (2.8.8)-(2.8.11) и формул интегрирования (2.9.3), получим: