Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 17 )

III. Метод конечных элементов

изгибаемых систем

К изгибаемым системам относятся стержневые и тонкостенные конструкции – пластинки и оболочки, на которые действуют поперечные нагрузки. Одной из задач метода конечных элементов является обеспечение неразрывности работы конечных элементов. При рассмотрение плоской и пространственной задач теории упругости для этого было достаточно поставить условие равенства перемещений в общих узлах конечных элементов и подобрать функции формы, обеспечивающие непрерывность перемещений на сопряженных границах конечных элементов. Для изгибаемых конструкций этих условий недостаточно. Кроме обеспечения совместности перемещений на границах элементов необходимо обеспечить непрерывность углов поворота в узлах и на сопряженных границах конечных элементов.

3.1. Плоский изгиб одномерного конечного элемента

Рассмотрим одномерный конечный элемент, изогнутый в одной главных плоскостей поперечного сечения стерня, с узлами на концах конечного элемента (рис. 3.1).

Чтобы обеспечить выполнение четырех заданных параметров – прогибы и углы поворота на концах конечного элемента, для функции прогибов необходимо использовать кубический полином.

Введем безразмерную координату

, (3.1.1)

D - длина конечного элемента.

Производные по координате х определяются по формуле

. (3.1.2)

Функцию прогибов принимаем в виде кубического полинома

. (3.1.3)

Угол поворота сечения стержня определяется по формуле

. (3.1.4)

Коэффициенты аi определяем из условий:

; ; ; . (3.1.5)

Откуда получаем:

; . (3.1.6)

;

.

Решая систему двух уравнений, получаем:

;

. (3.1.7)

Подставляя значения коэффициентов аi (3.1.5), (3.1.6) в формулы прогибов и углов поворота (3.1.3), (3.1.4) и группируя слагаемые при узловых перемещениях yi и углах поворота qi , получаем функции прогибов и углов поворота при плоском изгибании одномерного конечного элемента.

; (3.1.8)

.

Введем обозначения;

; ;

; ;

; ;

; . (3.1. 9)

Здесь - полиномы Эрмита [4] в интервале (0,1); ; - номера узлов конечного элемента; .

Свойства полиномов Эрмита:

, ; ; , (3.1.10)

- координата узла конечного элемента;

- символ Кронокера.

; ; ;

; ; ;

; ; (3.1.11)

Тогда можно записать прогибы и углы поворота в векторно-матричной форме

. (3.1.12)

При расчетах на ЭВМ матрицу функций формы можно получать, не записывая их в явной форме по формулам (3.1.9). Введем вектор коэффициентов функций прогибов а, и матрицу степеней аргумента x и их производных по аргументу х:

; . (3.1.13)

Тогда, имеем

. (3.1.14)

Вектор узловых перемещений получаем в виде

, (3.1.15)

где ; .

Коэффициенты полинома определяются по формуле

. (3.1.16)

Подставляя формулу (3.1.15) в вектор перемещений (3.1.13), получаем

, (3.1.17)

откуда

. (3.1.18)

Нетрудно убедится, что умножение матицы С--1 на вектор узловых перемещений d дает значения коэффициентов аi, совпадающие с формулами (3.1.6), (3.1.7) полученными ранее. Функции формы вычисленные по формуле (3.1.17) совпадают с формулами (3.1.9). В тоже время, формулы (3.1.16) – (3.1.18) позволяют проводить эти преобразования и выполнять вычисления не пользуясь формулами (3.1.6) – (3.1.9) в явном виде.

3.2. Матрица жесткости изгибаемого

одномерного конечного элемента

Для вывода матрицы жесткости одномерного изгибаемого конечного элемента воспользуемся принципом Лагранжа минимума полной энергии деформаций.

Потенциальная энергия деформаций плоского изгиба стержня, разбитого на конечные элементы, определяется формулой:

. (3.2.1)

Потенциальная энергия деформаций одномерного изгибаемого конечного элемента с использованием безразмерных координат

. (3.3.2)

Момент инерции в пределах конечного элемента принимаем постоянным. Индекс э при рассмотрении отдельного конечного элемента упускаем.

Прогиб стержня с учетом формулы (3.1.5) запишем в виде

, (3.2.3)

где .

Тогда

, (3.2.4)

где ;

Потенциальную энергию одномерного конечного элемента при плоском изгибе с учетом формулы (3.2.4) получаем в виде

,

. (3.2.5)

Здесь

(3.2.6)

-  матрица жесткости плоского изгиба одномерного конечного элемента.