Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 14 )

где площадь основания тетраэдра против i-ой вершины; Hi – высота, опущенная из i-ой вершины на основание тетраэдра.

Несложно раскрыть полученные определители в формуле (2.13.5). Но обычно, при расчетах на ЭВМ их вычисляют непосредственно, использую стандартные подпрограммы.

Функциональные множители при узловых перемещениях по определению являются функциями формы симплекс элемента в форме тетраэдра:

. (2.13.6)

Как и в случае плоской задачи теории упругости, функции формы (2.13.6) справедливы для любого перемещения пространственной задачи теории упругости - .

Для построения функций формы комплекс элементов в форме тетраэдра справедлива рекуррентная формулу (2.8.4), использующая понятие L-координат конечного элемента. Введем определение L-координат для конечного элемента в форме тетраэдра (рис. 2.19).

. (2.13.7)

Здесь - высота, опущенная из i-го узла тетраэдра на противоположное основание; - высота, опущенная из произвольной точки внутри тетраэдра на основание против i-го узла тетраэдра.

Если умножить числитель и знаменатель на площадь основания тетраэдра против i-го узла , то получим

. (2.13.8)

Таким образом, L-координата i-го узла определяется как отношение высоты, опущенной из заданной точки в области тетраэдра на основание тетраэдра против i-го узла, к высоте тетраэдра, опущенной из i-го узла., или как отношение объема тетраэдра, построенного на основании тетраэдра против i-го узла и заданной точки в области тетраэдра к объему конечного элемента.

Из формул (2.13.7), (2.13.8) следует, что в i-ом узле () и на основании тетраэдра против i-го узла (). В сечениях, параллельных основанию против i-го узла, . Из формулы (2.13.8) следует

(1.13.9)

Таким образом, L-координаты отвечают требованиям, предъявляемым к функциям формы конечного элемента и совпадают по значениям с функциями формы симплекс элемента в форме тетраэдра в виду линейного закона изменения функций.:

; (2.13.10)

Использую рекуррентную формулу (2.9.4), получаем функции формы конечного комплекс элемента 2-го порядка в форме тетраэдра. Эти формулы аналогичны формулам треугольного комплекс 2-го порядка плоской задачи теории упругости.

,

; ; ;

; ; ; (2.13.10)

Нумерация узлов соответствует их нумерации на рис. 2.17,б.

2.14. Функции формы призматических конечных элементов

Принимаем, что основание призмы расположено в координатной плоскости ху, ось призмы параллельна оси z (локальная система координат). Функции формы призматических элементов получаем путем умножения функций формы основания элемента - на функции формы одномерного элемента направленного по оси z:

. (2.14.1)

Для симплекс элемента функции формы одномерного элемента по оси z определяется формулами

или (2.14..2)

для узлов нижнего и верхнего основания призмы конечного элемента соответственно. Здесь , где Н – высота призмы конечного элемента.

Для призматических комплекс элементов в формуле (2.14.1) множителями являются функции формы соответствующего порядка в плоскости ху и по оси z.

Для комплекс элемента 2-го порядка функция формы по оси z. (одномерного элемента) имеют вид в соответствии с формулами (2.9.8)-(2.9.11) ():

-  для узлов нижнего основания:

, (2.14.3,а)

-  для узлов верхнего основания

, (2.14.3,б)

-  для узлов в середине ребер и в центрах граней призмы

. (2.14.3,в)

2.15. Матрица жесткости пространственного конечного элемента

В соответствии с формулами (2.4.3), (2.4.4) и формулами (1.1.7) получим:

. (2.15.1)

Для пространственной задачи .

Тогда с учетом формулы (1.1.7)

, (2.14.4)

где ; ; .

С учетом матрицы физического закона пространственной задачи теории упругости (1.1.7), получаем

,

(2.15.5)

где .

Интегрируя полученную матрицу по объему конечного элемента, получаем подматрицу жесткости конечного элемента

, (2.15.6)

Из подматриц (2.15.6) составляем матрицу жесткости конечного элемента. Размерность матрицы жесткости пространственного конечного элемента равна ( - количество узлов конечного элемента).

Матрица жесткости конструкции пространственной задачи формируется аналогично матрице жесткости конструкции плоской задачи теории упругости.

2.16. Организация программного обеспечения

расчета конструкции в МКЭ

Одной из важнейших задач решения задач на ЭВМ является подготовка и ввод исходных данных. Подготовка и ввод общих исходных данных, например механических характеристик материала конструкции, не составляет трудностей. Наиболее трудоемкой задачей является разбивка конструкции на конечные элементы, подготовка и ввод информации о конечных элементах.

Рассмотрим вопросы организации программного обеспечения расчета конструкции методом конечных элементов на примере плоской задачи теории упругости с разбивкой конструкции на треугольные симплекс элементы. За основу возьмем конструкцию, приведенную на рис 2.21.

После разбивки конструкции на конечные элементы проводится нумерация конечных элементов и глобальная нумерация узлов. Нумерация конечных элементов не влияет принципиально на организацию расчета. От нумерации, к которым обычно привязывается глобальная нумерация узловых перемещений (нумерация неизвестных), зависит ширина матрицы жесткости конструкции и, следовательно, объем используемой оперативной или дисковой памяти ЭВМ, и, в конечном счете, время расчета конструкции на ЭВМ. Далее устанавливаются координаты узлов конечных элементов. Для конструкции, разбиваемой на треугольные элементы произвольного размера и положения, это наиболее трудоемкая и ответственная работа по подготовке исходных данных. Заметим, что незначительное изменение координат узлов не будет иметь существенного значения на результаты расчета. Однако, если ошибка приведет к наложению областей конечных элементов (значительное смещение координаты узла), то результаты расчета будут ошибочными.