Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 22 )

Сумма узловых усилий от всех нагрузок, действующих в на данный конечный элемент суммируется в правой части уравнений с номером соответствующим данному узловому усилию в глобальной нумерации неизвестных.

Решая систему уравнений МКЭ, определяют прогибы и углы поворота в узлах конечно-элементной сетки пластинки. Используя формулы (3.5.6), (3.5.11) можно вычислить прогибы и углы поворота в произвольной точке конечного элемента (пластинки).

Для определения перемещений и внутренних усилий в пределах каждого конечного элемента предварительно из общего вектора узловых перемещений составляют вектор узловых перемещений конечного элемента d, используя информацию о соответствии глобальной и локальной нумерации неизвестных.

Далее вычисляют изгибные деформации – изгибные кривизны и кривизну кручения в пределах конечного элемента и внутренние усилия, используя физические уравнения закона Гука:

; (3.7.11)

. (3.7.12)

Приложение 1

Интегрирование в L- координатах

а. Треугольный комплекс элемент

Функции формы треугольных комплекс элементов n-го порядка являются полиномами двух переменных n-ой степени. Для вычисления компонент матриц жесткости конечных элементов необходимо проводить интегрирование функций формы в L- координатах.

Установим связь прямоугольной системы координат ху с системой L- координат (рис. П.1)

 

Введем обозначения:

; ;

. (П.1.1)

Рассмотрим интеграл

. (П.1.2)

Устанавливаем связь координат ху и L-координат (x1x2).

; . (П.1.3)

Рассматривая подобные треугольники и , получаем:

; ; . (П.1.4)

Из подобия треугольников и , и , получаем

; . (П.1.5)

Используя полученные соотношения, запишем интеграл (П.1.2) в координатах x1x2:.

;

И учитывая формулы (П.1.1) и соотношение , имеем

. (2.10.6)

Рассмотрим интеграл .

Интегрируя последовательно по частям, получим:

. (П.1.7)

Тогда .

И окончательно получаем

. (П.1.8)

б. Одномерный комплекс элемент.

Для одномерного симплекс элемента (участка стержня длиной D, рис. П.2) функции формы определяются по формулам:

;

, (П.1.9)

где .

Функции формы одномерных комплекс элементов определяются в соответствии с формулами (2.8.4), (2.87), и являются полиномами n-ой степени. Получим Интегралы от произведения степеней L-координат одномерного элемента

. (П.1.10)

Аналогично для интеграла от произведения степеней L-коор-динат пространственного тетраидального комплекс элемента можно получить формулу

. (П.1.11)

СОДЕРЖАНИЕ

	Введение……………………………………………………	3
I.	Матричные формы уравнений теории упругости…….	5
1.1.	Пространственная задача теории упругости……………...	5
1.2.	Плоская задача теории упругости…………………………	8
1.3.	Полная энергия деформаций. Принцип Лагранжа……….	10
II.	Метод конечного элемента………………………………	14
2.1.	Функции формы…………………………………………….	17
2.2.	Функции формы простого треугольного элемента	18
2.3.	Функция формы простого прямоугольного элемента	21
2.4.	Матрица жесткости конечного элемента………………	23
2.5.	Матрица жесткости треугольного симплекс элемента…..	24
2.6.	Матрица жесткости прямоугольного симплекс элемента	29
2.7.	L координаты треугольного элемента……………………	34
2.8.	Функции формы треугольного конечного комплекс элемента n-го порядка……………………………………...	36
2.9.	Матрица жесткости треугольного комплекс элемента 2-го порядка………………………………………………...	42
2.10.	Матрица жесткости конструкции МКЭ…………………..	44
2.11.	Работа внешних сил………………………………………..	52
2.12	Пространственные конечные элементы…	62
2.13.	Функции формы конечного элемента в форме тетраэдра.	64
2.14	Функции формы призматических конечных элементов....	67
2.15	Матрица жесткости пространственного конечного элемента……………………………………………………….....	68
2.16.	Организация программного обеспечения расчета конструкции в МКЭ………………………………………………	69
III.	Метод конечных элементов изгибаемых систем……...	78
3.1.	Плоский изгиб одномерного конечного элемента……….	78
3.2.	Матрица жесткости изгибаемого одномерного конечно-го элемента………………………………………………….	81
3.3.	Матрица жесткости плоского изгиба стержня. Работа внешних сил. Внутренние усилия ………………………...	84
3.4.	Изгиб тонких пластин……………….……………………..	90
3.5.	Функции формы изгибаемого прямоугольного конечного элемента…………………………………………..	92
3.6.	Матрица жесткости изгибаемого прямоугольного ко-нечного элемента…………………………………………...	96
3.7.	Работа внешних сил. Внутренние усилия…………...	97
	Приложение 1
	Интегрирование в L- координатах..............................	104