Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 9 )

Пример 2.8.1. Определить функции формы для треугольного комплекс элемента 2-го порядка (рис. 2.10).

Устанавливаем соответствие нумерации узлов элементов:

;;

.Здесь цифра показывает номер узла, индекс порядок конечного элемента.

Для 1-го узла комплекс элемента (n = 2) имеем основание 23, m =2; ;

; .

Тогда

. (2.8.8)

В окончательных формулах индекс, показывающий порядок комплекс элемента при L-координате обычно опускают.

Для 2-го и 3-гоузла получаем круговой заменой индексов

; . (2.8.9)

Для 4-го узла комплекс элемента в соответствие с формулами (2.9.4) и (2.9.5): ; ;

; ;

. (2.8.10)

Для 5-го и 6-го узлов:

; . (2.8.11)

Функции формы треугольного комплекс элемента получены.

Пример 2.8.2. Определить функции формы для треугольного комплекс элемента 3-го порядка (рис. 2.11).

 

Соответствие номеров узлов конечных элементов:

; ; ; ; ; ;

Для первого узла: n = 3; m = 3; с = 1;

; ; ;

Для угловых узлов комплекс элемента 3-го порядка получаем:

; ;

. (2.8.12)

Для 4-го узла: ; ; ;

;

Для узлов на основаниях треугольного комплекс элемента 3-го порядка получаем:

; ;

. (2.8.13)

Для 5-го узла: ; ; ;

;

; ;

; (2.8.14)

Для 10-го узла: ; ; ;

:

. (2.8.15)

2.9. Матрица жесткости треугольного

комплекс элемента 2-го порядка

Для треугольного комплекс элемента 2-го порядка функции формы определяются по формулам (2.8.8)- ( 2.8.11). Тогда, по формулам (2.5.1) с учетом формул (2.2.6) получаем:

; ;

;

;

; ;

; . (2.9.1)

При интегрировании функций формы от произведения L-координат используется формула

. (2.9.2)

Вывод формулы приведен в приложении 1.

В частности имеем::

; ;

: . (2.9.3)

Вычисляем интегралы ; : .

При :

;

;

;

;

;

. (2.9.4)

При :

;

; ;

; ;

;

;

;

;

;

;

. (2.9.5)

Имея интегралы от произведения функций , , , , несложно по формулам (2.5.6), (2.6.7) вычислить компоненты матрицы жесткости конкретного конечного элемента.