Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 3 )

. (1.3.8)

Используя прямой и обратный законы Гука, потенциальную энергию деформация можно записать в напряжениях или деформациях:

. (1.3.9)

Выражая деформации через перемещения (!.1.9), получим формулу потенциальной энергии деформаций в перемещениях

. (1.3.10)

Полная энергия деформаций представляет собой работу, которую совершают внутренние и внешние силы при переходе из рассматриваемого деформированного состояния в начальное недеформированное состояние. Внутренние силы, связанные с деформациями законом Гука, изменяются при этом от возникших при нагружении тела напряжений до нуля, и, следовательно, их работа равна накопленной потенциальной энергии деформаций U. Внешние силы – нагрузка остаются неизменными и совершают отрицательную работу, и, следовательно, их работа равна удвоенной работе внешних сил, совершаемой при статическом нагружении тела (П =.-Т = -2А).

Тогда полная энергия деформаций Э определяется по формуле

, (1.3.11)

В матричной форме полную энергию деформаций получим в виде

. (1.3.12)

Выражение (1.3.12) называют функционалом полной энергии деформаций.

Полная энергия деформаций является важной характеристикой напряженно-деформированного состояния твердого деформированного тела. В частности, доказывается Принцип Лагранжа, являющийся одним из основных вариационных принципов теории упругости [2, 4, 5]:

«Из всех возможных напряженно-деформированных состояний деформируемого твердого тела действительному напряженному состоянию соответствует минимум полной энергии деформации».

Это означает, что если мы получим приближенное решение, отличающиеся от действительного, то полная энергия деформаций, вычисленная на полученных приближенных перемещениях, будет больше действительной энергии деформаций, вычисленных для действительных перемещений. Принцип минимума полной энергии деформаций доказывается для статически нагруженного тела. Для задач динамики и устойчивости доказывается более общий принцип - принцип стационарности, когда полная энергия деформаций достигает экстремального значения.

Признаком экстремального значения полной энергии деформаций является равенство нулю вариации (приращения) полной энергии деформаций [5]:

, (6.3.3)

, .

Здесь - вектор перемещений; - приращение перемещений; d - символ вариации (линейной составляющей приращения) функционала или функции,.

По аналогии с дифференциальным исчислением исследуется вторая вариация полной энергии деформаций - :

-  при полная энергия деформаций достигает минимума, равновесное состояние устойчиво (доказывается для статических задач теории упругости);

-  при полная энергия деформаций максимальна и равновесное состояние внутренних и внешних сил неустойчиво.

-  при - полная энергия деформаций стационарна, тело находится в состоянии безразличного равновесия.

II. Метод Конечного Элемента

В методе конечных элементов рассчитываемая конструкция разбивается на элементы конечных размеров. Соседние элементы конструкции соприкасаются по граням элементов без разрывов. В пределах каждого элемента назначаются узловые точки. Узловые точки соседних элементов на соприкасающихся гранях совпадают. За неизвестные принимаются значения функций в узловых точках конечных элементов. При расчете напряженно-деформированного состояния неизвестными функциями являются узловые перемещения (проекции перемещений в рассматриваемой системе координат). Однако метод конечных элементов применим и при решении других задач, описываемых дифференциальными уравнениями. Например, задача о распределении температуры в теле, задача движения жидкостей и газов, задача о фильтрации жидкостей в плотинах и др.

Конечные элементы могут быть самой разнообразной формы (рис. 2.1). В тоже время, наиболее часто используются простейшие формы: треугольные и прямоугольные элементы в плоской задаче теории упругости, тетраэдры (треугольные пирамиды) и прямоугольные параллелепипеды в пространственной теории упругости. Наряду с прямоугольными элементами применяются четырехугольные элементы произвольной формы. При использовании криволинейной системы координат, конечные элементы также могут иметь криволинейные грани. При расчете оболочек используются как плоские элементы, так и криволинейные пространственные элементы.

Треугольные элементы (тетраэдры) наиболее удобны для аппроксимации границ тел сложной формы. Меняя размеры треугольных элементов хорошо аппроксимируются криволинейные границы, зоны отверстий и области концентрации напряжений.

Прямоугольные элементы удобно использовать при расчете тел прямоугольной формой. Для более сложной формы можно применять прямоугольные элементы в комбинации с четырехугольными элементами произвольной формы, или комбинации прямоугольных и треугольных элементов.

Узловые точки конечных элементов назначаются в вершинах конечного элемента и дополнительно на гранях и внутренних точках элемента.

 

Если узловыми точками являются только вершины конечного элемента, то такой элемент называется простым или симплекс элементом. Если кроме вершин элемента имеются дополнительные узлы, то такой конечный элемент называют сложным или комплекс элементом. Если кроме вершин элемента имеются дополнительные узлы, то такой конечный элемент называют сложным или комплекс элементом. Узлы на гранях элементов распределяются на пропорциональных расстояниях от вершин. Внутренние узлы располагаются в узлах пересечениях линий, проведенных через узлы на гранях элемента параллельно основаниям элемента (рис. 2.2.).

Рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Для плоской задачи теории упругости схемы конечных элементов имеют наиболее наглядную форму, и на примере этих элементов наиболее легко освоить подходы решения задач методом конечных элементов.

На рис 2.2 представлены схемы треугольных и прямоугольных конечных симплекс и комплекс элементов.

 

На рис. 2.3 показана возможная разбивка пластинки треугольными элементами и комбинацией прямоугольных элементов и четырехугольных элементов произвольной формы.

 

2.1. Функции формы

После разбивки конструкции на конечные элементы неизвестные функции в пределах каждого элемента описываются приближенными аппроксимирующими функциями, выраженными через их узловые значения. Для напряженно-деформированного состояния деформируемого твердого тела такими функциями являются перемещения

Для ПЗТУ аппроксимирующие функции перемещений можно записать в виде:

; , (2.1.1)

где - проекции перемещения i-го узла на оси х, у; , - аппроксимирующие функции перемещений, отражающие влияние узловых перемещений в пределах элемента; - количество узлов конечного элемента..

При задании координат i-го узла в формуле (2.1.1) мы должны, очевидно, должны получить соответствующее узловое перемещение ; . Из этих условий следуют свойства, которым должны отвечать функции , :

; ;

; ; (2.1.2)

Вероятно, функции u, v, являющиеся проекциями общего вектора перемещений имеют аналогичную зависимость от координат, и следовательно, их аппроксимирующие функции будут одинаковыми , поэтому в дальнейшем не будем их различать, упуская индексы .