Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 13 )

; . (2.11.19)

Для одномерного комплекс элемента 2-го порядка, по аналогии с формулами функций формы треугольного комплекс элемента (2.8.8)-(2.8.11), для стороны 13 треугольного элемента получим:

; . (2.11.20)

Для узла в середине стороны 13

. (2.11.21)

Не сложно убедится, что функции формы на сторонах треугольного комплекс элемента отвечают основным требованиям они равны единице в узле для которого они написаны и нулю в других узлах рассматриваемой стороны элемента. Так как L функции на сторонах треугольного элемента связаны только с изменение координаты этой стороны, то на общей стороне двух соседних конечных элементов функции формы совпадают.

Не сложно написать по аналогии функции формы на других сторона треугольного комплекс элемента.

Распределенная нагрузка на стороне 13 конечного элемента перераспределяется усилия в узлах стороны, которые определяются по формулам аналогично формулам (2.11.17), (2.11.18):

, i = 1, 3, 6. (2.11.22)

Здесь х;(у) – означает х или у соответственно.

Интеграл от произведения L-координат одномерного элемента определяется (см. приложение) по формуле

. (2.11.23)

Тогда, при действии на стороне 13 равномерно распределенной нагрузки получим:

;

;

.

Таким образом, равномерно нагрузка на стороне комплекс элемента второго порядка перераспределенная в узловые нагрузки – 2/3 в узел на середине стороны и по 1/6 в узлы на концах отрезка.

Рассмотрим прямоугольный симплекс элемент.

Для любого конечного элемента работа сосредоточенных сил в узлах элемента равна произведению силы на перемещение в узле по направлению действия силы. Поэтому правая часть к-го уравнения от действия сосредоточенной силы в узле с к-ым глобальным неизвестным, равна проекции силы на направление к-го перемещения (глобального неизвестного).

В случае действия собственного веса (объемной силы получаем

; (2.13.23)

Таким образом, собственный вес конечного элемента распределяется в прямоугольном симплекс элементе по ¼ веса конечного элемента в каждом узле элемента.

При действии распределенной по стороне прямоугольного элемента нагрузки ее работу определяем по формуле (2.11.4) с использованием значений функций формы на сторонах конечного элемента. Функции формы на сторонах прямоугольного элемента получаем из функций формы соответствующих узлов четырехугольного элемента (2.3.3) задаваясь уравнением (координатой) соответствующей стороны:

; ; ; ;

; ; ; . (1.11.24)

По аналогии с треугольным элементом несложно получить, что действие распределенной нагрузки на стороне прямоугольного симплекс элемента эквивалентно действию сосредоточенных в узлах стороны элемента (на концах отрезка) сил, равных по величине опорным реакциям шарнирно опертой балки (пролет балки равен длине стороны прямоугольного элемента) от нагрузки, действующей на рассматриваемой стороне элемента. Направление сосредоточенных сил (знак усилия) соответствует направлению (знаку) нагрузки.

2.12. Пространственные конечные элементы

При выводе основных соотношений метода конечных элементов плоской задачи теории упругости отмечалась общность формы их записи в матричном виде. В тоже время их внутреннее содержание (форма матриц) существенно различно.

В качестве конечных элементов в пространственной задаче теории упругости применяются; тетраэдры (треугольные пирамиды) треугольные и прямоугольные призматические элементы (рис. 2.17). Эти элементы, как и в плоской задач теории упругости, могут быть простыми с узлами только в вершинах – симплекс элементы, так и сложными с узлами в вершинах, на сторонах и внутри элементов – комплекс элементы. Могут применятся и более сложные элементы с – криволинейные, призматические элементы с четырехугольным (не прямоугольным) сечением и т. д.

Локальную нумерацию узлов пространственных конечных элементов проводят в удобном для реализации расчетов порядке. Для нумерация узлов простого тетраэдра назначают первый номер в одной из вершин тетраэдра. Узлы основания тетраэдра против 1-го узла нумеруют, обходя вершины основания против часовой стрелки. При этом смотрят с вершины 1-го узла.

Для призматических симплекс элементов принимают условно ось призмы за ось z. Одно из оснований принимают за начало (локальное) отчета. Одному из узлов нижнего основания назначают 1-й номер. Далее нумеруются узлы нижнего основания при обходе узлов против часовой стрелки. Следующий номер назначается узлу верхнего основания против первого узла нижнего основания, и далее против часовой стрелки.

При нумерации узлов комплекс элементов, узлам в вершинах конечного элемента присваиваются номера аналогичного симплекс элементу. Это связано с тем, что при построении функций формы комплекс элементов используются функции формы аналогичных симплекс элементов. Далее принимается некоторый порядок нумерации узлов на сторонах конечного элемента и внутренних узлов.

2.13. Функции формы конечного элемента в форме тетраэдра

Для симплекс элемента в форме тетраэдра принимают линейную зависимость перемещений от координат в пределах конечного элемента (рис. 2.18):

;

;

. (2.13.1)

Рассмотрим дальнейшие преобразования на примере перемещения и. Индекс и при коэффициентах будем опускать.

Задаваясь последовательно координатами узлов, получаем значение узловых перемещений (рис. 2.18):

;

;

. (2.13.2)

По аналогии с плоским треугольным элементом, решая систему уравнений (2.13.4) относительно неизвестных коэффициентов и группируя коэффициенты при узловых перемещениях , функцию перемещений получаем в виде:

. (2.13.3)

Коэффициенты получаем их решения системы (2.13.2) методом Крамара, положив , :

; ; ; , (2.13.4)

где ; ;

; ; .

Здесь - объем конечного элемента. Объем тетраэдра может быть также определен по формуле

, (2.13.5)