Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 5 )

. (2.3.2)

В безразмерных координатах функции формы прямоугольного симплекс элемента, очевидно, получаем в виде:

; ;

; : (2.3.3)

Нетрудно убедится, что функции (2.3.3) удовлетворяют условию (2.1.3). Условия неразрывности деформаций обеспечивает линейность функций формы при , , в том числе на гранях прямоугольного элемента..

;

Условие (3.1.4) также выполняется..

2.4. Матрица жесткости конечного элемента

Запишем вектор перемещений конечного элемента используя функции формы и перемещения в узлах конечного элемента. Для этой цели введем вектор узловых перемещений d и матрицу функций формы.N

; , (2.4.1)

где - вектор перемещений i-го узла; - матрица функций формы i-го узла конечного элемента ПЗТУ.

Для пространственной задачи теории упругости аналогично имеем - .

Тогда имеем для ПЗТУ

.

Для пространственной задачи получаем аналогичную формулу, добавляя ординату z и перемещение .

Таким образом, формула

(2.4.2)

справедлива и для пространственной и для плоской задачи теории упругости.

Подставляя формулу (2.4.2) в выражение потенциальной энергии деформаций (1.3.10), получаем для конечного элемента

.

Здесь D - объем (площадь) конечного элемента.

Выполняя операцию транспонирования и вынося вектор узловых перемещений d за знак интеграла, получаем

, (2.4.3)

где

(2.4.4)

-  матрица жесткости конечного элемента.

Матрица жесткости – симметричная квадратная матрица размерности , где - количество перемещений в узле; кн – общее количество узловых перемещений конечного элемента

2.5. Матрица жесткости треугольного симплекс элемента

Получим матрицу В

.

Учитывая функции формы треугольного симплекс элемента (2.2.6), имеем

; . (2.5.1)

Тогда матрицу В можно записать в виде

, (2.5.2)

где . – подматрицы матрицы В.

Введем обозначения:

, ; ; (2.5.3)

Перемножаем подынтегральные матрицы формулы (2.4.4)

; (2.5.4)

; (2.5.5)

, i,j = 1, 2,3 (2.5.6)

Интегрируя по площади конечного элемента, С учетом формулы (2.5.4) и формул (2.5.3) получаем матрицу жесткости конечного элемента ПЗТУ и ее подматрицы

(2.5.7)

; . (2.5.8)

Формулы (2.5.6)-(2.5.8) с учетом формул (2.5.1) справедливы для любого конечного элемента ПЗТУ. Размерность матрицы равна удвоенному числу узлов конечного элемента.

Для простого треугольного элемента коэффициенты являются константами и, соответственно, компоненты матрицы также являются константами, следовательно,

. (2.5.9)

Пример 2.5.1. Вычислить компоненты матрицы жесткости треугольного конечного элемента (рис. 2.6).

Вычисляем проекции сторон треугольного элемента, учитывая их направление при обходе против часовой стрелки:

; ;

; ;

; ;

Используя формулы (2.2.6)

; , получаем:

; ; ; ; ; .

Вычислим комбинации произведении , ; ; .

Результаты представим в виде таблиц (табл. 2.5.1, 2.5.2, 2.5.3):

Таблица 2.5.1

	b1	b2	b3
b1	1,252 а2/D	-1,252 а2/D	0
b2	-1,252 а2/D	1,252 а2/D	0
b3	0	0	0

Таблица 2.5.2

	с1	с2	с3
с1	0,25 а2/D	0,5 а2/D	-0,75 а2/D
с2	0,5 а2/D	а2/D	-1,5 а2/D
с3	-0,75 а2/D	-1,5 а2/D	2,25 а2/D

; Таблица 2.5.3