Основы метода конечных элементов и вариационно-разностного метода (стр. 16 )

Если при использовании прямоугольных элементов в какой-то зоне (зоне ожидаемой концентрации напряжений) необходимо использовать прямоугольные элементы с малым шагом, то ширина и высота этих элементов по каждому из направлений не меняется. При увеличении шагов по одному из направлений получаются вытянутые прямоугольные элементы. Конечные прямоугольные элементы с большим отношением сторон могут приводить к потере точности расчета. Это является недостатком прямоугольных конечных элементов. В этом случае можно в зоне концентрации напряжений можно использовать разбивку конструкции на треугольные элементы в зонах ожидаемой концентрации напряжений и увеличив их размеры перейти к прямоугольным элементам.

Для конструкций на прямоугольном, треугольном, трапециевидном и параллелограммовидных планах можно использовать треугольные элементы с основаниями треугольников, параллельными основаниям плана. Ввод информации в этом случае можно значительно упростить.

Пример 2.16.1. Для конструкцией с заданной разбивкой на треугольные симплекс элементы (рис. 2.20) подготовить массив номеров элементов -, составить массив номеров глобальных неизвестных , определить ширину матрицы жесткости конструкции.

Проводим нумерацию конечных элементов (рис 2.20,а) и нумерацию узлов (рис. 2.20,б)

Составляем массив узлов элементов (табл. 2.16.1).

Рассчитываем массив номеров глобальных неизвестных (табл. 2.16.2), учитывая опирания узлов (рис. 2.20,б).

Отметим, что здесь рассматривается пример конструкции из раздела 2.10 (рис. 2.12). На рис. 2.20,б изменена нумерация узлов по сравнению с рис. 2.12,б. Это связано с тем, что в данном случае нумерация узлов связана с автоматизированным созданием массива номеров узлов. Эта нумерация проводится последовательно по номерам узлов. На рис. 2.12 нумерация глобальных неизвестных проводилась визуально и не зависела от порядка нумерации узлов. Но последовательность номеров неизвестных в обоих случаях совпала.

 

Номера конечных элементов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

таблица 2.16.1

1	1	2	2	3	3	4	4	5	5	7	7	8	9	9	7	12	12	12	13
4	2	5	6	7	4	9	5	10	6	8	13	9	14	10	12	15	13	13	14
3	4	4	5	10	8	8	9	9	10	12	12	13	13	14	11	11	15	15	16

Номера узлов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

таблица 2.16.1

1	0	0	4	6	8	10	12	14	16	18	19	21	23	25	27
2	0	3	5	7	9	11	13	15	17	0	20	22	24	26	28

Рассчитываем ширину матрицы жесткости конструкции. В табл. 2.16.3 приводятся минимальные номера неизвестных в i-том узле , максимальные и минимальные номера неизвестных в конечных элементах с данным узлом и определяются отклонения от диагонали матрицы: вправо - и влево - .

Здесь р = 1, если закрепления (опирание) в узле отсутствует, и р = 0, если по одному из направлений поставлена опора (узел 3 и узел 11 на рис. 2.20,б).

Таблица 2.16.3

№ узла (i)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
	1	0	3	4	6	8	10	12	14	16	18	19	21	18	25	27
	5	0	13	15	17	17	20	22	24	14	26	26	28	26	28	28
	1	0	1	1	4	6	3	3	4	6	10	10	12	10	18	21
	4	0	10	11	11	9	10	10	10	8	8	7	7	8	3	1
	1	0	2	4	3	3	8	10	10	11	9	10	10	9	8	8

В узле 2 перемещения отсутствуют, что и отмечено нулями.

Из табл. 2.16.3 имеем .

Ширина матрицы жесткости конструкции .

Равенство соблюдается всегда, поэтому обычно определяют только величины или .

Пример 2.16.2. Исследовать, как изменится ширина матрицы конструкции с разбивкой на конечные элементы, рассмотренной в предыдущем примере при изменении нумерации узлов и связанной с ней нумерации глобальных неизвестных (рис. 2.21).

Нумерацию узлов принимаем согласно рис. 2.21,а. Последовательная нумерация неизвестных, связанная с нумерацией узлов приведена на рис. 2.21,б. Рассматривая последовательно все узы и вычисляя разность между минимальным номером переменного в этом узле и наибольшим номером переменных в прилегающих к узлу конечных элементах, находим максимальное значение для 3-го узла равно 14. Следовательно, изменение нумерации перемещений привело к увеличению ширины матрицы жесткости конструкции с до .

 

Для конструкции с небольшим числом конечных элементов и числом неизвестных перемещений изменение нумерации переменных привело к незначительному изменению ширины матрицы. Однако при разбивке на сотни и тысячи конечных элементов, которое может быть в сложных конструкциях, особенно для пространственной теории упругости, изменение ширины матрицы и, следовательно, объем хранимой информации может быть весьма значительными.