Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

  • 30% recurring commission
  • Выплаты в USDT
  • Вывод каждую неделю
  • Комиссия до 5 лет за каждого referral

Определение. Число С называется пределом функции f(x) в точке слева (это записывается в виде формулы  ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 <  - x < d будет следовать

êC - f(x)ê < e (рис. 11.3).

Рис.11.2.Предел слева

Пример 11.3

Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0:

; .

Определение. Левосторонний и правосторонний пределы функции называются односторонними пределами этой функции при x. Чтобы подчеркнуть отличие от односторонних пределов, предел называют двусторонним пределом (рис. 11.4).

Рис.11.4.Пределы справа и слева совпадают с двусторонним пределом

Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы.

Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства:

;

Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к бесконечности:

,

если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), что для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие:

½f(x) - A½ < e.

При решении пределов при х, стремящемся к бесконечности, следует применять следующее правило: =

Пример 11.4

1.  =.

2.  (неопределенность вида ; разделим числитель и знаменатель на )= (функции являются бесконечно малыми и равны нулю).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

3.  =(так как показатель степени числителя больше показателя степени знаменателя)

4.  =0 (так как показатель степени числителя меньше показателя степени знаменателя).

Первый и второй замечательные пределы

Определение. Первым замечательным пределом называется предел

Теорема.  Первый замечательный предел равен 1

=1

Пример 12.1

Вычислить предел функции.

1. 

2.  ==

Определение. Вторым замечательным пределом называется предел:

1. 

2. 

Число е, заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число $ e$часто называют основанием натурального логарифма.

Пример 12.2

Вычислить предел функции.

1. 

2.  .

Производная функции одной переменной. Уравнение касательной.

Определение. Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента *=x- при стремлении его к нулю: или .

Производная - это скорость изменения функции в точке x.

Нахождение производной функции y=f(x) называется дифференцированием.

Производная сложной функции

В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой.

Пусть функция g(x) имеет производную в точке x, а функция f(z) имеет производную в точке z = g(x). Тогда сложная функция F(x) = f(g(x)) имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g¢ (x).

Таблица производных сложных функций.

Производная

Пример

(С)¢=0

(5)¢=0

(x)¢=1

(8x)¢=8

Степенная функция (xn)¢=n×x(n-1) х¢

(x4)¢=4x3

Показательная функция

(ax)¢=axlna×x¢

(4x)¢=4xln4

(logax)¢=×x¢

(log3x)¢=

(lnx)¢ =×x¢

(lnx2)¢=×2x

(ex)¢=ex×x¢

(e3x)¢=3e3x

(sinx)¢=cosx×x¢

(sin5x)¢=5cos5x

(cosx)¢= - sinx×x¢

(cos8x)¢=-8sin8x

(tgx)¢= ×x¢

(tg5x)¢= ×5

(ctgx)¢= -×x¢

(ctgx2)¢= -×2x

(arcsinx)¢= × x¢

(arcsinx3) ¢=×3x2

(arccosx)¢= - × x¢

(arccos) ¢= -×

()¢ =×x¢

()¢ =×3x2

если U=U(x), V=V(x), то y=UV

степенно-показательная функция

(UV )¢=UV×lnU×V¢+V×U(V-1)×U¢

y¢=(sin2x)( +1)× ln(sin2x)×2x+(x2+1)×(sin2x) ×cos2x×2

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25