Математика (стр. 17 )

В итоге получаем

Вычисление интегралов вида , где m и n -четное числа

Использовать тригонометрические формулы понижения степени:

Пример 3: Вычислить интеграл

Решение:

Используя формулу понижения степени , получаем

Вычисление интегралов вида

Под интегралом вида понимается интеграл, содержащий дробь, элементами которой являются тригонометрические функции, например,

В таких случаях используется универсальная тригонометрическая подстановка.

Данная подстановка интеграл от любой рациональной относительно и тригонометрической функции приводит к интегралу от рациональной функции.

Пример 4: Вычислить интеграл

Решение:

Полагая и заменяя , и указанными выражениями через t, получаем

Определённый интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана непрерывная и неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной графиком этой функции, отрезком [a;b] оси Оx и прямыми x=a и x=b(см. рис.1).

Если F(x)-некоторая первообразная для функции f(x) на интервале [a;b], то S=F(b)-F(a). Величина F(b)-F(a) называется определенным интегралом от a до b функции f(x) и записывается следующим образом:

= F(b)-F(a)=- формула Ньютона-Лейбница, где число a - нижний предел, а число b ¾ верхний предел интегриро­вания.

Cвойства определенного интеграла:

1.  (здесь k ‑ произвольное число);

2.  ;

3.  ;

4.  Если cÎ[a;b] (см. рис. 2), то .

Из этих свойств следует, например, что .

Все приведенные выше свойства непосредственно следуют из определения определенного интеграла.

Пример.

Вычислить определенный интеграл:.

Решение. =

Геометрический смысл определенного интеграла

Определённый интеграл от неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b] численно равен площади криволинейной трапеции:

.

Если f(x) < 0 во всех точках промежутка [a;b] и непрерывна на этом промежутке (например, как изображено на рисунке), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком [a;b] горизонтальной оси координат, прямыми x = a; x = b и графиком функции y = f(x), определяется формулой.

Несобственные интегралы

Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке [a,+). Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают . Таким образом, по определению =

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (-,b];

=.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой: , где с – произвольное число. В этом случае интеграл сходиться лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример.

Вычислить несобственный интеграл

=

Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция непрерывна на промежутке [a, b) и имеет бесконечный разрыв при . Если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают . Таким образом, по определению =.

Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Приближенное вычисление несобственного интеграла.

(22.1) - формула трапеций. Абсолютная погрешность приближенного равенства (22.1) оценивается с помощью следующей формулы: – наибольшее значение на отрезке

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение с разделенными переменными записывается в виде: (1). В этом уравнении одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем: – его общий интеграл.

Пример: найти общий интеграл уравнения: .

Решение: данное уравнение – дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Поэтому или Обозначим . Тогда – общий интеграл дифференциального уравнения.

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид (2). Уравнение (2) легко сводиться к уравнению (1) путем почленного деления его на . Получаем: – общий интеграл.