Математика (стр. 7 )

Общее уравнение прямой: Ax+By+C=0, где А, В, С - произвольные числа, причем А и В одновременно не равны нулю.

Рассмотрим частные случаи общего уравнения прямой:

если А=0, то y= -- уравнение прямой, параллельно оси Ox если В=0, то y= -- уравнение прямой, параллельно оси Oy если С=0, то Ax+By=0 - уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Угол между двумя прямыми: tga=, где - угловые коэффициенты данных прямых. Если , то прямые параллельны, если , то прямые перпендикулярны.

Расстояние от точки до прямой: d=, где ,-координаты данной точки, а А, В, С - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+C=0.

Пример 7.1

Найти расстояние от точки М0(2;-1) до прямой 3x+4y-22=0.

Решение.

d===4.

Ответ: d=4.

Определение. Уравнение плоскости, записанное в виде Ax+By+Cz+D=0 называется общим уравнением плоскости.

Условие параллельности двух плоскостей: .

Условие перпендикулярности двух плоскостей: .

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух плоскостей, т. е. как множество точек, удовлетворяющих системе:

.

Каноническое уравнение прямой в пространстве: если прямая параллельна направляющему вектору и проходит через точку , то её уравнение имеет вид: .

Расстояние от точки до плоскости: d=, где ,,-координаты данной точки, а А, В, С, D - коэффициенты в уравнении прямой Ax+By+Cz+D=0.

Пример 7.2

Найти расстояние от точки М0(1;-2;1) до прямой 2x+3y-z=1.

Решение

d====.

Ответ: d=.

Квадратичные формы

При решении различных прикладных задач часто приходится исследовать квадратичные формы.

Определение. Квадратичной формой L(, х2, ..., хn) от n пере­менных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

L(,х2,,...,хn) =

Предполагаем, что коэффициенты квадратичной формы - действительные числа, причем = . Матрица А=() (i, j = 1, 2, ...,n), составленная из этих коэффициентов, называется матрицей квадратичной формы.

В матричной записи квадратичная форма имеет вид: L = Х'АХ, где X = (х1, х2,..., хn)' - матрица-столбец переменных.

Пример 8.1

Записать квадратичную форму L(, х2, х3)= в матричном виде.

Решение.

Найдем матрицу квадратичной формы. Ее диа­гональные элементы равны коэффициентам при квадратах пере­менных, т. е. 4, 1, -3, а другие элементы - половинам соответст­вующих коэффициентов квадратичной формы. Поэтому

L=(, х2, х3) .

При невырожденном линейном преобразовании X = CY матрица квадратичной формы принимает вид: А* =С'АС. (*)

Пример 8.2

Дана квадратичная форма L(xx, х2) = 2х12+4x1x2-3. Найти квадратичную форму L(y1,y2), полученную из данной линейным преобразованием = 2у1 - 3y2, x2 = у1 + у2.

Решение.

Матрица данной квадратичной формы A=, а матрица линейного преобразования

С =. Следовательно, по (*) матрица искомой квадратичной формы

, а квадратичная форма имеет вид

L(y1, y2) =.

Следует отметить, что при некоторых удачно выбранных ли­нейных преобразованиях вид квадратичной формы можно суще­ственно упростить.

Определение. Квадратичная форма L(,х2,...,хn) = называется канонической (или имеет канонический вид), если все ее коэффициенты = 0 при i¹j:

L=, а её матрица является диагональной.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Любая квадратичная форма с помощью невырожден­ного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Пример 8.3

Привести к каноническому виду квадратичную форму

L(, х2, х3)=

Решение.

Вначале выделим полный квадрат при перемен­ной , коэффициент при квадрате которой отличен от нуля:

Теперь выделяем полный квадрат при переменной, коэф­фициент при которой отличен от нуля:

Итак, невырожденное линейное преобразование

приводит данную квадратичную форму к каноническому виду:

Канонический вид квадратичной формы не является одно­значно определенным, так как одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способа­ми. Однако полученные различными способами канонические формы обладают рядом общих свойств. Одно из этих свойств сформулируем в виде теоремы.

Теорема (закон инерции квадратичных форм). Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами квадратич­ной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Следует отметить, что ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не меняется при линей­ных преобразованиях.

Определение. Квадратичная форма L(, х2, ..., хn) называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях перемен­ных, из которых хотя бы одно отлично от нуля,

L(, х2, ..., хn) > 0 (L(, х2, ..., хn) < 0).

Так, например, квадратичная форма является положительно определенной, а форма- отрицательно определенной.