Математика (стр. 21 )

Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал.

Определение. Пусть имеется п переменных величин, и каждому набору их значений (хх, х2,..., хп) из некоторого множества X соответствует одно вполне определенное значение переменной вели­чины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменныхz=f(хх, х2,..., хп).

Переменные хх, х2,..., хп называются независимыми переменными или аргументами, z — зависимой переменной, а символ f означа­ет закон соответствия. Множество X называется областью оп­ределения функции. Очевидно, это подмножество n-мерного пространства.

Функцию двух переменных обозначают z=f(x, у). Тогда ее область определения X есть подмножество ко­ординатной плоскости Оху.

Окрестностью точки называется круг, содержащий точку (см. рис. 1).

Очевидно, круг на плоскости есть двумерный аналог интерва­ла на прямой.

При изучении функций нескольких переменных используется математи­ческий аппарат: любой функции z=f(x, у) можно по­ставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х=х0 функцию z= и при фиксированном значении у=у0 функцию z=f(x, у0).

Графиком функции двух переменных z= называется множе­ство точек трехмерного пространства (х, у, z), аппликата z кото­рых связана с абсциссой х и ординатой у функциональным соот­ношением z= .

Для построения графика функции z=f(x, у) полезно рассмат­ривать функции одной переменной z=f(x, у0) и z= , пред­ставляющие сечения графика z=f(x, у) плоскостями, парал­лельными координатным плоскостям Oxz и Oyz, т. е. плоскостями у= у0 и х=х0.

Пример 1. Построить график функции .

Решение. Сечения поверхности = плоскостями, параллельными координатным плос­костям Oyz и Oxz, пред­ставляют параболы (например, при х = 0 , при у = 1 и т. д.). В се­чении поверхности координатной плоскостью Оху, т. е. плоско­стью z=0, получается окружность График функции представляет поверх­ность, называемую па­раболоидом (см. рис. 2)

Определение. Линией уровня функции двух переменных z=f{x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и то же и равно С. Число С в этом случае называется уровнем.

На рис.3 изображены линии уровня, соответствующие значениям С=1 и С=2. Как видно, линия уровня состоит из двух непересекающихся кривых. Линия – самопере­секающаяся кривая.

Многие примеры линий уровня хорошо известны и привычны. Например, параллели и меридианы на глобусе — это линии уровня функций широты и долготы. Синоптики публикуют карты с изображе­нием изотерм — линий уровня температуры.

Пример 2. Построить линии уровня функции .

Решение. Линия уровня z=C это кривая на плоскости Оху, задаваемая уравнением х2 + у2 - 2у = С или х2 + (у - I)2 = С+1. Это уравнение окружности с центром в точке (0; 1) и радиусом (рис. 4).

Точка (0; 1) — это вырожденная линия уровня, соответствующая минимальному значению функции z=-1 и достигаю­щемуся в точке (0; 1). Линии уровня — концентрические ок­ружности, радиус которых увеличивается с ростом z=C, при­чем расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра. Линии уровня позволяют представить график данной функции, который был ранее построен на рис. 2.

Частные производные

Дадим аргументу х приращение ∆х, аргументу у — приращение ∆у. Тогда функция z получит наращенное значение f(х+∆х, у+∆у). Величина ∆z=f(x+∆x, y+∆y)-f{x, у) называется полным приращени­ем функции в точке (х; у). Если задать только приращение аргу­мента x или только приращение аргумента у, то полученные при­ращения функции соответственно и называются частными.

Полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных, т. е.

Пример 15.6. Найти частные и полное приращения функции z=xy.

Решение. ; ; .

Получили, что

Определение. Частной производной функции несколь­ких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответст­вующего частного приращения функции к приращению рас­сматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).

Обозначается частная производная так: или , или .

Для нахождения производной надо считать постоянной переменную у, а для нахождения — переменную х. При этом сохраняются известные правила дифференцирова­ния.

Пример. Найти частные производные функции:

a) z=x ln y+ .

Решение: Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Таким образом, . Аналогично, дифференцируя по у, считаем х постоянной величиной, т. е.

Дифференциал функции

Определение. Дифференциалом функции называется сумма про­изведений частных производных этой функции на приращения соот­ветствующих независимых переменных, т. е.

dz=. (1)

Учитывая, что для функций f(х, у)=х, g(x, у)=у согласно (1) df=dx=∆x; dg=dy=∆y формулу дифференциала (1) можно запи­сать в виде dz=z'x dx+z'y dy (2) или

Определение. Функция z=f(x, у) называется дифференцируемой в точке (х, у), если ее полное приращение может быть представлено в виде (3), где dz — дифференциал функции, – ,бесконечно малые при .

Достаточное условие дифферен­цируемости функции двух переменных.

Теорема. Если частные производные функции z'v (x, у) существу­ют в окрестности точки (х, у) и непрерывны в самой точке (х, у), то функция z=f{x, у) дифференцируема в этой точке.

Двойной интеграл

Понятие двойного интеграла

Пусть функция f(x, y) определена внутри некоторой области D и на ее границе. Разобьем область D на n частичных областей D1, D2, ..., Dn. Их площади обозначим через σ1, σ2, ..., σn. Наибольшую хорду (отрезок, соединяющий две точки границы области) каждой из областей назовем ее диаметром. Через h обозначим диаметр, наибольший из всех n диаметров. В каждой частичной области возьмем по точке (P1(x1; y1) в области D1, P2 (x2; y2) в области D2 , и т. д.). Составим интегральную сумму:

Устремим n к бесконечности так, чтобы h стремилось к нулю. Конечный предел последовательности Sn (если он существует) при h → 0 , который не зависит ни от способа разбиения области D, ни от выбора точек P1, P2, ..., Pn, называется двойным интегралом функции f(x, y) и обозначается

  .

Функция f(x, y) называется интегрируемой функцией на области D. Область D называется областью интегрирования.