Математика (стр. 8 )

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма L = Х'АХ была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения, матрицы А были поло­жительны (отрицательны).

В ряде случаев для установления знакоопределенности квадратичной формы удобнее бывает применить критерий Сильвестра.

Теорема. Для того чтобы квадратичная форма была положи­тельно определенной, необходимо и недостаточно, чтобы все глав­ные миноры матрицы этой формы были положительны, т. е.

>0, > 0,..., >0, где

=

Следует отметить, что для отрицательно определенных квадра­тичных форм знаки главных миноров чередуются, начиная со знака "минус" для минора первого порядка.

Пример 8.4

Доказать, что квадратичная форма L = является положительно определенной.

Решение.

Матрица А квадратичной формы

имеет вид А = . Для матрицы А характеристическое

уравнение или .

Решая уравнение, найдем = 14, = 4. Так как корни характеристического уравнения матрицы А положительны, то на основании приведенной теоремы квадратичная форма L - положительно определенная.

Множества. Операции над множествами.

Понятие множества в математике вводится на основе представления о совокупностях, образованных из конечного или бесконечного числа объектов, называемых элементами множества. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается: Æ. Множества обозначаются большими прописными буквами латинского алфавита A, B, C…X, Y, Z, а их элементы малыми буквами a, b, c…x, y, z.

Порядком множества называется число его элементов; множество бесконечного порядка называется бесконечным (N-бесконечно). Бесконечное множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать. Множество чисел N, Z - счетные, множества чисел R, C-несчетные.

Множества задаются перечислением своих элементов, например, запись X=íxÎ R ½-2<3x-1<5ý означает, что множество X состоит из всех действительных чисел, удовлетворяющих указанному двойному неравенству.

Множество А называется подмножеством множества В, если любой элемент множества А принадлежит множеству В и обозначается: АÌВ.

Для иллюстрации множеств удобно пользоваться диаграммами Венна (кругами Эйлера), в которых элементы множеств схематически изображаются точками некоторых кругов.

Примеры 9.1

Операции над множествами

Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих одновременно множествам А и В, называется пересечением множеств А и В и обозначается С=АВ={x½xÎA и xÎB}.

Определение. Множество С всех элементов, принадлежащих множеству А или множеству В, называется объединением множества А и В и обозначается С=АÈВ={x½xÎA или xÎB}.

Определение. Множество С элементы, которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается С=А\В={x½xÎA и xÏB}.

Определение.  М - некоторое множество, разность М\B называется дополнением к B и обозначается B.

Пример 9.2

Дано множество А={1,2,3,4,5}и В={3,4,5,6,7}. Найти АÇВ, АÈВ, А\В, В\А.

Решение.

АÇВ={3,4,5}

АÈВ={1;2;3;4;5;6;7}

А\В={1;2}

В\А={6;7}

Функция. Свойства функции одной переменной.

Определение функции. Пусть X и Y - это два непустые множества. Соответствие f, которое каждому элементу xX сопоставляет один и только один элемент yY, называется функцией и записывается y=f(x), где xX или f:XY. Переменная х называется аргументом, а y-функцией или зависимой переменной от х.

Пример 10.1

1.  Функция:

2.  Не является функцией, т. к. не каждому xX соответствует элемент yY:

3.  Функция:

Определение области определения функции. Множество X называется областью определения функции f и обозначается D(f).

Пример 10.2

Найти область определения функции y=

Решение.

Ответ: X[-3;8)(8;).

Определение области значения функции. Множество всех yY называется множеством значений функции f и обозначается E(f).

Основные свойства функции

Четность, нечетность функции

Для того, чтобы определить четность функции сперва необходимо найти область определения функции, если оно - симметричное множество, то функция либо четная либо нечетная, если же не симметричное множество, то данная функция общего вида.

Определение. Функция y=f(x) называется

четной, если выполняется условие: f(-x)= f(x),

нечетной, если f(-x)= - f(x),

общего вида, если f(-x)f(x) и f(-x)-f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат Оy, а нечетной функции - относительно начала координат.

Пример 10.3

1.  y=tg(cosx)

D(f)=(-;+)-симметричное множество, следовательно проверим условия четности.

y(-x)=tg(cos(-x))=tg(cos(x))=y(x)данная функция четная.

2.  Y=sinx

D(f)=(-;+)-симметричное множество, следовательно проверим условия четности.

y(-x)=sin(-x)=-sinx= - y(x)данная функция нечетная.

3.  y=

D(f)=[0;+)- несимметричное множество, следовательно данная функция общего вида.

Периодичность функции

Определение. Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число Т>0, что при каждом значении х функция f(x+T)=f(x). При этом число Т называется периодом функции.

Если Т - период функции, то ее периодом будут так же числа 4,…Основной период (наименьший положительный) - это период Т=2. Вообще за основной период берут наименьшее положительное число Т, удовлетворяющее равенству f(x+T)=f(x).

Пример 10.4

Найти наименьший положительный период функции y=