Математика (стр. 20 )

Решение. Данный ряд можно рассматривать как геометри­ческий ряд со знаменателем q = x, который сходится при <1. Отсюда —1<х<1, т. е. областью сходимости является ин­тервал (-1; 1).

Структура области сходимости степенного ряда устанавливает­ся с помощью теоремы Абеля.

Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что <

2) Если степенной ряд расходится при , то он расходится при всех значениях х таких, что > .

Из теоремы Абеля (см. рис. 14.1) следует, что существует такое число R≥0, что при < R ряд сходится, а при > R— расходится

Число R получило название радиуса сходимо­сти, а интервал (—R; R) — интер­вала сходимости степенного ряда.

На концах интервала сходимости, т. е. при x= - R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться (см. рис.).

Найдем выражение радиуса сходимости степенного ряда (1) через его коэффициенты. Рассмотрим ряд, составленный из абсо­лютных величин его членов (2), в котором все коэффициенты , по крайней мере начиная с некоторого номера п, отличны от нуля.

Радиус сходимости: .

Замечание. Следует отметить, что у некоторых рядов ин­тервал сходимости вырождается в точку (R=0), у других охваты­вает всю ось Ox (R=oo).

Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда

Решение. Найдем радиус сходимости ряда по формуле ===, т. е. интервал сходимости ряда .

Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходи­мости. На левом конце при х= - данный степенной ряд принимает вид ; этот ряд сходится по признаку Лейбница. На правом конце, при х= получаем ряд , представляющий обобщенный гармонический ряд при =2, у которого все члены с четными номерами равны нулю. Так как =2> 1, то этот ряд сходится.

Итак, область сходимости данного ряда.

Ряды Тейлора и Маклорена

Пусть, например, функция f(x) представима в виде ряда

. (1)

Следовательно, необходимо определить коэффициенты а0,а1,а2,...; причем интервал сходимости не сводится к точке, то есть R>0.

Учтем то, что степенной ряд (1) в интервале сходимости можно почленно дифференцировать любое число раз и все полученные таким образом ряды тоже будут сходиться, а их суммы равны соответствующим производным.

Продифференцируем последовательно ряд (3.1):

f/(x) = a1 + 2×a2×x + 3×a3×x2 + ...

f//(x) = 2×a2 + 2×3×a3×x + 3×4×a4×x2 + ...

f///(x) = 2×3×a3 + 2×3×4×a4×x + 3×4×5×a5×x2 + ...

fIV(x) = 2×3×4×a4 + 2×3×4×5×a5×x + ...

Положим теперь в этих равенствах и в (1) х = 0; тогда получим, что

f(0) = a0; f/(0) = a1; f//(0) = 2×a2; f///(0) = 2×3×a3; fIV(0) = 2×3×4×a4; ...

То есть а0 = f(0); ; ; ; ; ...

Подставляя эти значения в (1), получим ряд Маклорена:

. (2)

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций:

1. f(x) = ex.

Так как f(к)(x) = ex для любого к. Полагая х = 0 , получим f(к)(0) = e0 = 1.

Тогда ряд Маклорена имеет вид

.

Исследуем ряд на сходимость.

, следовательно, применяя признак Даламбера,

.

, следовательно, ряд сходится для каждого х, принадлежащего .

2. f(x) = Sinx.

f/(x) = Cosx; f//(x) = - Sinx; f///(x) = - Cosx...

При х=0 имеем

f(0) = 0; f/(0) = 1; f//(0) = 0; f///(0) = -1.

Отсюда

.

3. f(x) = Cosx (аналогично). Получим

Пример. Разложить в ряд функцию .

Решение.

Т. к. , то заменяя х на , получим , , и наконец

Область сходимости ряда

В некоторых случаях функция f(x) или ее производная неопределенны при х = 0: так, например, ведут себя функции f(x) = ln(x), , для которых или . Следовательно, такие функции не могут быть разложены в ряд Маклорена. Тогда нужно воспользоваться более общими степенными рядами.

Рассмотрим разложение в степенной ряд функции f(x) по степеням (х-а), где а¹0 и его можно подобрать соответствующим образом так, чтобы f(x) = А0 + А1×(х - а) + А2×(х - а)2 +... (3)

Пусть х - а = z. Тогда разложение (3) примет вид F(z) = f(z + a) = А0 + А1×z + А2×z2 +.. (4), где . Но это уже ряд Маклорена.

Так как F(n)(z) = f(n)(z + a), (n=1,2,...).

Таким образом, имеем A0 = F(0) = f(a), , ..., , ...

Подставив эти выражения в (4), получим ряд Тейлора

. (5)

Если а = 0, получим ряд Маклорена.

Если в (5) взять конечное число членов, то вместо ряда Тейлора получим многочлен Тейлора

. (6)

То есть если (5) сходится в некоторой окрестности точки а (Ua), то его сумма равна f(x), a Pn(x) дает приближенное представление f(x) в Ua.

Пример. Разложить многочлен f(x) = x4 + 2×x2 – 6 по возрастающим степеням (х - 2).

f/(x) = 4×x3 + 4×x; f//(x) = 12×x2 + 4; f///(x) = 24×x; f(IV)(x) = 24; f(V)(x) = 0; f(n)(x) = 0 (n > 4).

При х = 2 получим коэффициенты разложения: f(2) = 16 + 8 - 6 = 18; f/(2) = 40; f//(2) = 12; f///(2) = 48; f(IV)(2) = 24.

Таким образом имеем следующее разложение , или окончательно f(x) = 18 + 40×(x-2) + 6×(x-2)2 + 8×(x-2)3 + (x-2)4.