Математика (стр. 13 )

Теорема 16.5. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при х-0 (слева) или при х+0 (справа) равен бесконечности, т. е. или. Тогда прямая х= является вертикальной асимптотой графика функции .

Пример 16.3

Найти асимптоты графика функции .

Решение.

Из области определения выпадают точки x=-1 и х=1, т. к. ,

, , , следовательно, по теореме 16.5 прямые x=-1 и х=1 являются вертикальными асимптотами.

Исследуем данную функцию на наклонную и горизонтальную асимптоты (теоремы 16.4 и 16.3).

k=,

y=0-горизонтальная асимптота.

График функции изображен на рис. 16.2.

Ответ: x=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты, y=0 - горизонтальная асимптота.

Пример 16.4

Найти асимптоты графика функции.

Решение.

По теореме 16.4: k=, следовательно при xграфик функции наклонной асимптоты не имеет. При x: k=, b= график имеет горизонтальную асимптоту .

Максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Пусть Функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а;b]. Как известно, такая функция достигает своих максимального и минимального значений. Эти значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка [а; b] либо на границе отрезка, т. е. при = а или = b. Если (а; b), то точку следует искать среди критических точек данной функции (см. рис. 16.3).

рис. 16.3

Получаем следующее правило нахождения максимального и минимального значений функции на [а; b]:

найти критические точки функции на интервале (а; b); вычислить значения функции в найденных критических точках; вычислить значения функции на концах отрезка, т. е. в точках х = а и х = b; среди всех вычисленных значений функции выбрать максимальное и минимальное.

Замечания:

1.  Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает максимальное (минимальное) значение. На рисунке 16.3 f() = (min- минимальное, max - максимальное).

2.  Если функция у = f(x) на отрезке [а; b] не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое максимальное значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а минимальное (m) - на другом.

Пример 16.5

Найти максимальное и минимальное значения функции f(x) = Зх4 + 4х3 + 1 на отрезке [-2; 1].

Решение:

Находим критические точки данной функции:(x) = 12х3 + 12x2 = 12х2(х + 1);

(x) = 0 , тогда 12х2(х + 1)=0 при = 0 [-2;1] и при = -1 [-2;1].

f(0) = 1, f(-1) = 3- 4+1 = 0,

f(-2) = 48 - 32 + 1 = 17, f(1) = 8.

Итак, = 17 в точке х = -2, = 0 в точке х = -1.

Общая схема исследования функций и построения их графиков

1.  Найти область определения функции

2.  Исследовать функцию на четность-нечетность

3.  Найти вертикальные асимптоты

4.  Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты

5.  Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

6.  Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба

На основании проведенного исследования построить график функции.

Приведенная схема исследования не является обязательной. В более простых случаях достаточно выполнить лишь несколько операций, например, 1,2,5. Если же график функции не совсем понятен и после выполнения всех операций, то можно дополнительно исследовать функцию на периодичность. Построить дополнительно несколько точек графика, выявить другие особенности функции. Иногда целесообразно выполнение операций исследования сопровождать постепенным построением графика функции.

Пример 16.5

Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1.  Функция не определена при х=1 и х=-1. область определения состоит из трех интервалов (;-1), (-1;1), (1; ), а график из трех ветвей.

2.  Функция является нечетной, т. к.

3.  Прямые х=-1 и х=1 - вертикальные асимптоты;

4.  Выясним наличие наклонной асимптоты (теорема 16.4):

= (k=0 при xи при x),

, подставляя в уравнение , получаем y=0 (при xи при x) - горизонтальную асимптоту.

5.  Находим интервалы возрастания и убывания функции:

. Т. к. , то функция возрастает на каждом интервале области определения. Функция экстремумов не имеет, т. к. критические точки х=-1 и х=1, в которых производная не существует, не принадлежат области определения функции.