Математика (стр. 15 )

По формуле извлечения корня из комплексного числа:

, k=0, 1, 2, откуда получаем три значения корня:

при k=0:

при k=1:

при k=2: .

Интегрирование подстановкой

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной).

Способ подстановки заключается в следующем: новой переменной заменяют такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой получается оставшаяся часть подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, который всегда можно вынести за интеграл).

.

Выбор удачной формулы (подстановки) для замены переменной имеет большое значение. Вместе с тем дать одно общее правило для выбора хорошей подстановки невозможно. Однако можно посоветовать в качестве потенциальной подстановки рассматривать наиболее сложную часть подынтегральной функции.

Пример 18.1: Найти интеграл.

Решение:

Полагаем ; дифференцируя обе части, получаем . Далее подставляем эти выражения в исходный интеграл и возвращаемся к заданной переменной x.

Пример 18.2: Найти интеграл.

Решение:

Пример 18.3: Найти интеграл.

Решение:

Пример 18.4: Найти интеграл.

Решение:

Пример 18.5: Найти интеграл.

Решение:

Интегрирование по частям

При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрические функции, удобно использовать способ интегрирования по частям.

При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают через u и . При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой легко вычисляется.

Обычно интегрированием по частям вычисляются интегралы следующих видов.

В случае интегралов вида , , в качестве u следует принять , а за соответственно выражения .

В случае интегралов вида , в качестве u следует принять соответственно функции , а за выражение .

Пример 19.1: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 19.2: Вычислить интеграл

Решение:

Для вычисления полученного в правой части равенства интеграла можно использовать замену переменной:

.

В результате получаем окончательный ответ:

Пример 19.3: Вычислить интеграл

Решение:

Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем по частям:

В результате получаем окончательный ответ:

Пример 19.4: Вычислить интеграл

Решение:

Интегрирование рациональных дробей

Определение: Рациональной дробью называют функцию, равную частному от деления двух многочленов:, где - многочлен степени m, а - многочлен степени n.

Определение. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена знаменателя; в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

,

где - многочлен, а - правильная рациональная дробь.

Пример 20.1. Представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение:

Исходная дробь является неправильной, поскольку степень многочлена числителя (равна 3) больше степени многочлена знаменателя (равна 1).

Делим числитель на знаменатель:

Частное остаток .

Следовательно,

.

Определение: Простейшими дробями называются правильные дроби вида и , где А, а, p, q, M и N - действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

Интегрирование простейших дробей

1 случай. Дроби вида интегрируются посредством замены переменной:

Пример 20.2: Вычислить интеграл

Решение:

Пример 20.3: Вычислить интеграл

Решение:

2 случай. Дроби вида также интегрируются посредством замены переменной при предварительном выделении полного квадрата в знаменателе дроби: