Математика (стр. 1 )

Математика

Конспект лекционного материала

для специальности

031001.51 Правоохранительная деятельность

Мурманск

2012

Математика: конспект лекций по дисциплине для обучающихся по специальности 031001.51 «Правоохранительная деятельность» / сост. ст. преп. кафедры общественных и естественных наук , ст. преп. кафедры общественных и естественных наук . – Мурманск: МАЭУ, 2012. – 80с.

Ó Мурманская академия

экономики и управления, 2012

СОДЕРЖАНИЕ

Матрицы, основные действия над матрицами.. 4

Определители. Ранг матрицы. 6

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы. 9

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса и Крамера.. 11

Вектор. Действия над векторами. 14

Линейная зависимость и независимость векторов. Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. 15

Уравнение прямой на плоскости. Прямая в пространстве. 17

Квадратичные формы... 19

Множества. Операции над множествами. 22

Функция. Свойства функции одной переменной. 23

Предел функции. Основные теоремы о пределах. 25

Первый и второй замечательные пределы... 28

Производная функции одной переменной. Уравнение касательной. 29

Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. 31

Правило Лопиталя.. 33

Применение производной к исследованию функций. Общая схема исследования функций и построения их графиков. 34

Комплексные числа. Действия над комплексными числами. 39

Интегрирование подстановкой.. 42

Интегрирование по частям... 43

Интегрирование рациональных дробей.. 45

Интегрирование тригонометрических выражений.. 49

Определённый интеграл.. 51

Несобственные интегралы... 52

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.. 53

Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 54

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.. 54

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум. 55

Степенные ряды... 58

Ряды Тейлора и Маклорена.. 60

Функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня. Частные производные функций многих переменных и дифференциал. 62

Двойной интеграл.. 65

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.. 67

Решение дифференциальных уравнений численными методами.. 72

ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.. 75

Матрицы, основные действия над матрицами

Определение. Таблица вида

называется m´n матрицей или, сокращенно, A=(aij), где i=1,…,m - номер строки, j=1,…,n-номер столбца, аij-элементы матрицы А.

Определение. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.

Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Определение. Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной и обозначается буквой Е.

Пример 1.1

- единичная матрица третьего порядка,

Определение. Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Пример 1.2

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается

.

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

Определение. Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором-столбцом или вектором-строкой соответственно.

Пример 1.3

- вектор-столбец,

- вектор-строка.

Определение. Матрица, полученная из данной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной и обозначается .

Пример 1.4

Дано:. Найти .

Решение.

.

Действия над матрицами

1. Операция сложения матриц

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Определение. Суммой двух матриц и называется матрица такая, что где i=1,…,m; j=1,…,n.

Пример 1.5.

Произвести сложение матриц A=и B=

Решение.

+=.

2. Операция разности матриц

Аналогично определяется разность матриц.

3. Операция произведения матриц

Операция произведения матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Определение. Произведением матрицы на матрицу называется матрица такая, что =, где i=1,…,m; k=1,…,p, т. е. элемент i-ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы В.

Пример 1.6

Произвести умножение матриц и .

Решение.

4. Произведение матрицы на число

Произведение матрицы на число k называется матрица такая, что bij= k×аij (i=1,…,m; j=1,…,n).

Пример 1.7

Произвести умножение матрицына число k=2.

Решение.

5. Возведение матрицы в натуральную степень

Возведение в натуральную степень квадратной матрицы А происходит по правилу: , причем по определению 1) ,2).

Пример 1.8

Вычислить:.

Решение.

=×==

Определение. Матрица - А=(-1)×А называется противоположной.

Определение. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований, к которым относятся:

1.  перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

2.  умножение всех элементов рада матрицы на число, отличное от нуля;

3.  прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Определители. Ранг матрицы.

Определение. Определитель-число, характеризующее квадратную матрицу и обозначается, например определитель матрицы А, следующим образом: или , или detA.

Пример 2.1

Найти определитель матрицы В, если:

1.  В=, тогда определитель

2.  В=, тогда определитель