Математика (стр. 9 )

Решение.

Наименьшее положительное число Т должно удовлетворять равенству f(x+T)=f(x).

Подставим сумму (х+Т) вместо х в данной функции, получим:

=

решаем полученное уравнение:

cos(x+T)=cosx

cos(x+T)-cosx=0 применяя формулу разности косинусов, получим:

-2sin(sin(x+=0

=n T=2n, n=1,2,3,…-наименьший положительный период функции y=.

Ограниченность функции

Определение. Функция y=f(x) называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что f(x)М (f(x)m).

Функция одновременно ограниченная снизу и сверху называется просто ограниченной.

Пример 10.5

y=- парабола, график функции

ограничен снизу (прямой y=0)(Рис.10.1).

Монотонность функции

Определение. Функция y=f(x) называется возрастающей на промежутке (a;b), если для любых ,(a;b) такие, что > выполняется неравенство: f()>f() и убывающей, если >, то f()<().

Одновременно возрастающая и убывающая функция называется строго монотонной.

Пример 10.6

Функция y=является строго монотонной, так как убывает на луче (-;0] и возрастает на луче [0;+). (рис.10.1).

Предел функции. Основные теоремы о пределах.

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d-окрестности точки x0 соответствующие значения y попадают в e-окрестность точки y = A.

Можно сформулировать определение предела функции по-другому.

Определение. Число A называется пределом функции y = f(x) в точке x0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < êx - x0ê < d, выполняется условие êy - Aê < e.

Тот факт, что A есть предел функции y = f(x) в точке x = x0, записывается формулой

.

Рис.11.1.Предел при x.

Свойства предела функции

1.  Функция не может иметь в одной точке два разных предела.

2.  , если C - постоянная функция.

3.  Если существует и C - постоянная функция, то

.

4.  Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует, равный .

Примеры 11.1

1.  3-2+7=8.

2.  (применить четвертое свойство (для частного) нельзя, т. к. предел знаменателя при x2 равен нулю; в таких случаях говорят, что имеем неопределенность вида ; для ее раскрытия раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители) =. Аналогичный приём вычисления пределов можно использовать для раскрытия неопределенностей в случае иррациональных функций.

3.  (домножим и разделим дробь на выражение сопряженное числителю)=(в числители разность квадратов) === -=.

В случае иррациональности в числителе и знаменателе необходимо домножить и разделить дробь на выражение сопряженное числителю и знаменателю.

Введем определения так называемых “односторонних пределов”.

Определение. Число B называется пределом функции f(x) в точке справа (это записывается в виде формулы  ), если для любого поло­жительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x -  < d будет следовать êB -f(x) ê < e (рис. 11.2).

Рис.11.2.Предел справа

Пример 11.2

Согласно приведенному определению . Отметим, что обыкновенного предела функция в точке x = 0 не имеет.