Математика (стр. 2 )

Таким образом, получаем формулу для нахождения определителя второго порядка:

Если А=, то =

Определение. Минором элемента матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, полученного из матрицы А вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Пример 2.2

Дано: А= Найти все миноры матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:==12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец:==0-2= -2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец:== 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:== 4-4=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:== 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:== 6-1=5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец:== 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец:== 6-0=6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец:== 9-0=9.

Определение. Алгебраическим дополнением элемента матрицы n-го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j, т. е. =(-1)i+j×.

Пример 2.3

Дано: А= Найти алгебраическое дополнение каждого элемента матрицы А.

Решение.

Вычеркиваем первую строку и первый столбец:= (-1)1+1 =12-4=8

Вычеркиваем первую строку и второй столбец:= (-1)1+2 = -(0-2)= 2

Вычеркиваем первую строку и третий столбец:= (-1)1+3 = 0-3= -3

Вычеркиваем вторую строку и первый столбец:= (-1)2+1 = -(4-4)=0

Вычеркиваем вторую строку и второй столбец:= (-1)2+2 = 12-2=10

Вычеркиваем вторую строку и третий столбец:= (-1)2+3 = -(6-1)= -5

Вычеркиваем третью строку и первый столбец:= (-1)3+1= 2-6= -4

Вычеркиваем третью строку и второй столбец:= (-1)3+2 = -(6-0)= -6

Вычеркиваем третью строку и третий столбец:= (-1)3+3 = 9-0=9.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраическое дополнение:

=.

Пример 2.4

Дано: А= Вычислить определитель третьего порядка.

Решение.

Вычислим определитель матрицы А, разложив, например, первый столбец:

=3×(-1)1+1 +0×(-1)2+1 +1×(-1)3+1=3× (12-4)+0+(2-6)=24-4=20.

Основные свойства определителей

1.  определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2.  при перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3.  определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю

4.  общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя.

5.  определитель с нулевым рядом равен нулю.

6.  если к какому-либо ряду определителя прибавить другой ряд, умноженный на скаляр, то определитель не изменится.

7.  определитель треугольной и диагональной матрицы равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.

Ранг матрицы

Определение. Рангом треугольной матрицы называют число её ненулевых строк.

Чтобы найти ранг матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований привести её к треугольному виду.

Элементарные преобразования матрицы, сохраняющие ранг матрицы:

1.  отбрасывание нулевого ряда

2.  умножение всех элементов ряда матрицы на число, неравное нулю.

3.  изменение порядка ряда матрицы

4.  прибавление к каждому элементу одного ряда соответствующих элементов другого ряда, умноженных на число.

5.  транспонирование матрицы.

Рассмотрим пример.

Пример 2.5

Дана матрица А= Найти ранг матрицы.

Решение.

Приведём данную матрицу к треугольному виду.

выбираем ведущую строку и главный элемент, для этого поменяем местами первую и третью строку Теперь должны получить нули под главным элементом, т. е. под единицей. Первый нуль во второй строке уже есть, поэтому переписываем первую строку, как ведущую, и вторую строку без изменения. Осталось получить нуль вместо первого элемента третьей строки, т. е. вместо тройки. Для этого каждый элемент ведущей строки, умноженный на минус три, складываем со соответствующими элементами третьей строки.Выбираем вторую строку за ведущую, и первый ненулевой элемент этой строки берем за главный. Получим нуль под главным элементом. Для этого к каждому элементу ведущей строки (второй строки), умноженному на пять, прибавляем соответствующий элемент третьей строки, умноженный на три. . В результате получаем r(A)=2.

Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы методом присоединённой матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

Определение. Матрица А-1 называется обратной к матрице А, если выполняется условие: А× А-1= А-1×А=Е, где Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Обратная А-1 матрица имеет ту же размерность, что и матрица А.