Математика (стр. 18 )

Пример: Решить уравнение .

Решение: преобразуем левую часть уравнения: . Делим обе части уравнения на Решением является выражение: т. е.

Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнение вида называется однородным, если и – однородные функции одного порядка (измерения). Функция называется однородной функцией первого порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножиться на , т. е. =.

Однородное уравнение может быть приведено к виду . С помощью подстановки ()однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой функции .

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде .

Метод Бернулли

Решение уравнения ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки ().

Пример: проинтегрировать уравнение .

Полагаем . Тогда , т. е. . Сначала решаем уравнение =0: .

Теперь решаем уравнение т. е. . Итак, общее решение данного уравнения есть т. е.

Бернулли

Уравнение вида , где называется уравнением Бернулли. Данное уравнение решается с помощью метода Бернулли.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида (1), где и постоянны.

Частные решения уравнения (1) будем искать в виде , где к – некоторое число. Дифференцируя эту функцию два раза и подставляя выражения для в уравнение (1), получим т. е. или (2) ().

Уравнение 2 называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения.

При решении характеристического уравнения (2) возможны три случая.

Случай 1. Корни и уравнения (2) действительные и различные: . В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид .

Случай 2. Корни и уравнения (2) действительные и равные: . В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид .

Случай 3. Корни и уравнения (2) комплексные: , . В этом случае частными решениями уравнения (1) являются функции и . Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Пример. Решить уравнение .

Решение: составим характеристическое уравнение:. Тогда . Общее решение данного уравнения .

Экстремум функции нескольких переменных. Условный экстремум.

Экстремум функции нескольких переменных

Определение. Точка М (хо, уо) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x, у), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек {х, у) из этой окрестности выполня­ется неравенство ()

На рис. 1 точка А — есть точка минимума, а точка В — точка максимума.

Необходи­мое условие экстремума — многомерный аналог теоре­мы Ферма.

Теорема. Пусть точка – есть точка экстре­мума дифференцируемой функ­ции z=f(x, у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю.

Точки, в которых выполнены необходимые условия экстрему­ма функции z=f(x, у), т. е. частные производные z'x и z'y равны нулю, называются критическими или стационарными.