Математика (стр. 14 )

6.  Исследуем функцию на выпуклость. Находим :

x	(,-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1; )
	+		¾	т. перегиба	+		¾
y	È		Ç	0	È		Ç

График функции изображен на рисунке 16.3.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Определение. Комплексными числами называются числа вида z=, где x, y-действительные числа, i-мнимая единица, определяемая равенством . Действительные числа x и y называются соответственно действительной x=Re z и мнимой y=Im z частями комплексного числа z.

Пример 17.1

Приведем примеры комплексных чисел: z=, z=, z=, z=.

Действия над комплексными числами

Пусть и , тогда

1.

2.

3.

Пример 17.2

Даны комплексные числа z1=, z2=. Найти , , .

Решение.

Определение. Геометрически каждое комплексное число z=изображается точкой M(x;y) координатной плоскости xOy (рис.17.1). В этом случае плоскость xOy называют комплексной числовой плоскостью, или плоскостью комплексного переменного z.

Определение. Полярные координаты r== и =аrg z точки М называются модулем и аргументом комплексного числа z.

Определение. Значение угла , которое удовлетворяет неравенству , называют главным значением аргумента z и обозначают argz.

Аргумент z можно определить по формуле:

аrgz=

Пример 17.3

Изобразить комплексное число z= на комплексной числовой плоскости, найти его модуль и главное значение аргумента.

Решение.

Изобразим z= на комплексной числовой плоскости; х=2 и y=2 (рис.17.2).

Найдем модуль =, так как х=2 и y=2, тогда =

Найдем главное значение аргумента: аrgz .

Ответ: =, аrgz=.

Формы записи комплексных чисел

Определение. Запись числа z в виде z=называется алгебраической формой комплексного числа.

Определение. Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z и его действительной и мнимой частями устанавливаются формулами: ;. Заменяя x и y в записи комплексного числа z= их выражениями через r и , получаем тригонометрическую форму комплексного числа: , где =-модуль, =аrg z - главное значение аргумента.

Определение. Запись числа z в виде , где=, =аrg z называется показательной формой комплексного числа.

Пример 17.4

Записать комплексное число z= в тригонометрической и показательной форме.

Решение.

=-модуль комплексного числа

аrgz - главное значение аргумента.

- тригонометрическая форма комплексного числа z=.

z= - показательная форма комплексного числа z=.

Ответ: , z=.

Формула для возведения комплексного числа в натуральную степень n (формула Муавра): .

Пример 17.5

Найти .

Решение.

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме: -1+i=. По формуле Муавра: ==

=1024=1024(-1+0i)=1024.

Ответ: 1024.

Извлечение корня из комплексного числа: , где k=0, 1, 2, …, n-1.

Пример 17.6

Найти .

Решение.

Запишем данное комплексное число в тригонометрической форме: -1+i=.