Математика (стр. 22 )

Непрерывная на замкнутой области функция является интегрируемой на этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

Пусть интегрируемая функция f(x, y) принимает в области D только положительные значения. Тогда двойной интеграл    численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании D и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности z = f(x, y).

Вычисление двойного интеграла

Если граница области D пересекается всякой прямой x = c (c - const) не более чем в двух точках, то область D называется правильной в направлении оси OX. Ограниченная область D, правильная в направлении оси ОХ, задается неравенствами:  a ≤ x ≤ b,  φ1(x) ≤ y ≤ φ2(x), где  φ1(x),  φ2(x)  - функции, непрерывные на отрезке [a, b] .

В этом случае двойной интеграл сводится к двукратному интегралу

 .

Сначала, полагая переменную интегрирования x постоянной, находим определенный интеграл    как функцию Ф(x) переменной x Затем находим определенный интеграл    .

Изменение порядка интегрирования

Пусть задан двукратный интеграл    . Если область интегрирования D (рис. 1), задаваемая неравенствами    является также правильной относительно оси ОУ, т. е. граница области D пересекается прямой y = c (c постаянная) не более чем в двух точках, то область D можно задать другими неравенствами:

.

Здесь  α, β   - соответственно наибольшее и наименьшее значение y в области D; x = ψ1(y)  - левая часть границы;
x = ψ2(y)    - правая часть границы области D.

Тогда в двукратном интеграле можно изменить порядок интегрирования:

Рис. 1

Вычисление площадей плоских фигур

В прямоугольной системе координат площадь ограниченной правильной в направлении оси ОХ области    равна

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть область D - правильная в полярных координатах, т. е. прямая φ = c, (c - const) пересекает границу области D не более двух раз. Пусть область D задается неравенствами  β ≤ φ ≤ α,  ρ1(φ) ≤ ρ ≤ ρ2(φ).

Тогда двойной интеграл    функции f(x, y) , заданной в прямоугольных координатах, можно свести к вычислению двукратного интеграла в полярных координатах:

.

Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах

Площадь правильной области       в полярных координатах находится так:

   .

Вычисление объемов с применением двойного интеграла

Объем V тела, ограниченного поверхностью z = f(x, y). , где f(x, y) - неотрицательная функция, плоскостью z = 0 и цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области D, а образующие параллельны оси ОZ, равен двойному интегралу от функции f(x, y) по области D :

.

Пример: вычислить интеграл , где D – круговой сектор, изображенный на рисунке.

Решение: Множество D является элементарным. Здесь а=0, b=1, . Таким образом искомый интеграл примет вид: = +

Пример: вычислить интеграл , где D – круг .

Решение: применим формулу: , получим Область D в полярной системе координат определяется неравенствами

Поэтому: =

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Вычисление интегралов встречается при моделировании достаточно часто. Численные методы обычно применяются при взятии неберущихся интегралов от достаточно сложных функций, которые предварительно табулируются, или при интегрировании таблично заданных функций, что в экономических приложениях встречается значительно чаще.

Для приближенного вычисления интеграла (1) существует много численных методов, из которых рассмотрим три основных:

1) метод прямоугольников;

2) метод трапеций;

3) метод Симпсона.

При вычислении интеграла следует помнить, каков геометрический смысл определенного интеграла. Если f(x)³0 на отрезке [a; b], то численно равен площади фигуры, ограниченной графиком функции y=f(x), отрезком оси абсцисс, прямой x=a и прямой x=b (рис. 1).

Таким образом, вычисление интеграла равносильно вычислению площади криволинейной трапеции. (2)

Метод прямоугольников

Разделим отрезок [a; b] на n равных частей, т. е. на n элементарных отрезков.

Длина каждого элементарного отрезка .

Точки деления будут: x0=a; x1=a+h; x2=a+2×h, ... , xn-1=a+(n-1)×h; xn=b. Эти числа будем называть узлами. Вычислим значения функции f(x) в узлах, обозначим их y0, y1, y2, ... , yn. Тогда, y0=f(a), y1=f(x1), y2=f(x2), ... , yn=f(b). Числа y0, y1, y2, ... , yn являются ординатами точек графика функции, соответствующих абсциссам x0, x1, x2, ... , xn (рис. 2). Из рис. 2 следует, что площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из n прямоугольников. Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению суммы n элементарных прямоугольников.

Рис. 2. Иллюстрация метода прямоугольников

(3)

(4)

(5)

Формула (3) называется формулой левых прямоугольников, (4) - формулой правых прямоугольников, (5) - формулой средних прямоугольников.

Метод трапеций.

Формула трапеций: (6)

Формула (6) означает, что площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника, составленного из n трапеций (рис. 3); при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной.

Рис. 3. Иллюстрация метода трапеций

Метод Симпсона.

Геометрически иллюстрация формулы Симпсона состоит в том, что на каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой дугой графика квадратного трехчлена.

Разобьем отрезок интегрирования [a; b] на 2×n равных частей длины . Обозначим точки разбиения x0=a; x1=x0+h, ... , xi=x0+i×h, ..., x2n=b. Значения функции f в точках xi обозначим yi, т. е. yi=f(xi). Тогда согласно методу Симпсона

(7)

Каждая из формул (3) – (7), как правило, дает результат тем точнее, чем больше n. Из всех приведенных формул наиболее точной является формула Симпсона, наименее точны формулы прямоугольников.

Уточнение корней