Математика (стр. 11 )

Основные правила дифференцирования

Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в точке x. Тогда функции S(x) = f(x) g(x) , P(x) = f(x)g(x) , а в случае g(x) ¹ 0 также D(x) =  имеют производные в точке x, которые выражаются следующими формулами:

S¢ (x) =(f(x) g(x))¢= f¢ (x)  g¢ (x)

P¢ (x) = (f(x)g(x))¢= f¢ (x)g(x) + f(x)g¢ (x)

D¢(x) = 

Примеры13.1

1.  y=xsinx; y¢=sinx+xcosx

2.  y=; y¢==

Уравнение касательной: .

Пример 13.2

Составить уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.

Решение.

- уравнение касательной

Ответ:

Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

Дифференциал функции

Определение. Главная часть приращения функции y = f(x), равная произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной f¢ (x)dx, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f¢ (x)dx. Отсюда ,то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Поскольку производная - это угловой коэффициент k касательной к графику функции при , то дифференциал -  это приращение ординаты y точки касательной к графику функции y = f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение: (рис. 16.1).

Рис.14.1.Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Очевидны следующие свойства дифференциала

1. dC = 0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x)) = Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)  g(x)) = df(x) dg(x),

4. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)g(x)) = g(x)df(x) + f(x)dg(x).

5. Если существуют df(x) и dg(x), то , g(x) ¹0

Таблица дифференциалов

Дифференциал	Пример
dС=0	d5=0
Степенная функция d(xn)=n×x(n-1) x¢dx	d(x4)=4x3dx
Показательная функция d(ax)=axlna×x¢dx	d(4x)=4xln4dx
d(logax)=×x¢dx	d(log3x)= dx
d(lnx) =×x¢dx	d(lnx2)=×2xdx
d(ex)=ex×x¢dx	d(e3x)=3e3xdx
d(sinx)=cosx×x¢dx	d(sin5x)=5cos5xdx
d(cosx)= - sinx×x¢dx	d(cos8x)=-8sin8xdx
d(tgx)= ×x¢dx	d(tg5x)= ×5dx
d(ctgx)= -×x¢dx	d(ctgx2)= -×2xdx
d(arcsinx) = × x¢dx	d(arcsinx3) =×3x2dx
d(arccosx)= - × x¢dx	d(arccos) = -×dx
d
d
d()=×x¢dx	d()=×3x2dx

Пример 14.1

Найти дифференциал функции .

Решение.

Пример 14.2

Найти и вычислить дифференциал функции при х=0, dx=0,1.

Решение.

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Равенство =позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Пример 14.3

Найти приближенное значение приращения функции при х=2 и .

Решение.

=10×0,001=0,01.

Формула используется для вычислений приближенных значений функций.